Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝43x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝43x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒53个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

（1）A（-3，0），B（0，4）．（1分）
当y=2时，

4

3

x+4＝2，x＝?

3

2

．
所以直线AB与CD交点的坐标为(?

3

2

，2)．（2分）

（2）①当0＜t＜

3

2

时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．
过点M作MN⊥OA，垂足为N．
由△AMN∽△ABO，得

AN

AO

＝

AM

AB

．
∵AO=3，BO=4，
∴AB=

32+42

=5，
∴

AN

3

＝

5 3 t

5

．
∴AN=t．（4分）
∴△MPH的面积为

1

2

×2(3?t?t)＝3?2t．
当3-2t=1时，t=1．（5分）
当

3

2

＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，
△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△PEH的面积．
过点M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延长线于点F．
FM=AG-AH=AM×cos∠BAO-（AO-HO）=

5

3

t×

3

5

?(3?t)＝2t?3．
HF＝GM＝AM×sin∠BAO＝

5

3

t×

4

5

＝

4

3

t．
由△HPE∽△HFM，得

PE

FM

＝

HP

HF

．
∴

PE

2t?3

＝

2

4 3 t

．
∴PE＝

6t?9

2t

．（8分）
∴△PEH的面积为

1

2

×2×

6t?9

2t

＝

6t?9

2t

．
当

6t?9

2t

＝1时，t＝

9

4

．
经检验，t=