Question

若f（x）在（-∞，+∞）内二阶可导，且f（0）=0，f″（x）≠0，则?x∈（-∞，+∞），f（x）满足f（x）=xf

若f（x）在（-∞，+∞）内二阶可导，且f（0）=0，f″（x）≠0，则?x∈（-∞，+∞），f（x）满足f（x）=xf′（θx）（0＜x＜1）的θ恰有（　　）个．A．0B．1C．2D．3

Answer 1

如果θ=0使得f（x）=xf′（θx）（0＜x＜1）成立，
则f（x）=xf′（0），
从而?0＜x＜1，都有f″（x）=0，
与f″（x）≠0矛盾．
如果存在θ≠0满足：
f（x）=xf′（θx）（0＜x＜1），①
①对θ求导可得：
0=x²f″（θx）．
但f″（x）≠0，与上式矛盾，故①不成立．
综上，不存在θ使得f（x）=xf′（θx）（0＜x＜1）成立．
故选：A．