Question

数列{an}的通项an=n2（cos2nπ3-sin2nπ3），其前n项和为Sn．（1）求Sn；（2）bn=S3nn?4n，求数列{bn}的

数列{an}的通项an=n2（cos2nπ3-sin2nπ3），其前n项和为Sn．（1）求Sn；（2）bn=S3nn?4n，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由于cos2

nπ

3

?sin2

nπ

3

＝cos

2nπ

3

，an＝n2?cos

2nπ

3

故S_3k=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3k-2+a_3k-1+a_3k）
=(?

12+22

2

+32)+(?

42+52

2

+62)+…+[?

(3k?2)2+(3k?1)2

2

+(3k)2]
=

13

2

+

31

2

+…+

18k?5

2

＝

k(4+9k)

2

S3k?1＝S3k?a3k＝

k(4?9k)

2

，
S3k?2＝S3k?1?a3k?1＝

k(4?9k)

2

+

(3k?1)2

2

＝

1

2

?k＝?

3k?2

3

?

1

6

，
故Sn＝

? n 3 ? 1 6 n＝3k?2 (n+1)(1?3n) 6 n＝3k?1 n(3n+4) 6 n＝3k

（k∈N^*）
（2）bn＝

S3n

n?4n

＝

9n+4

2?4n

，
Tn＝

1

2

[

13

4

+

22

42

+…+

9n+4

4n

]，
4Tn＝

1

2

[13+

22

4

+…+

9n+4

4n?1

]，
两式相减得3Tn＝

1

2

[13+

9

4

+…+

9

4n?1

?

9n+4

4n

]＝

1

2

[13+

9 4 ? 9 4n

1? 1 4

?

9n+4

4n

]＝8?

1

22n?3

?

9n

22n+1

，
故Tn＝

8

3

?

1

3?22n?3

?

3n

22n+1

．