Question

已知（根号x+3/x开立方）^n展开式的各项系数之和比它的二项式系数之和大992.（1）求展开式中

已知（根号x+3/x开立方）^n展开式的各项系数之和比它的二项式系数之和大992.（1）求展开式中二项式系数最大的项是第几项？（2）求展开式中的有理数项。（3）求展开式中系数最大的项。
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

(√x +3/³√x)^n

令x=1

系数和=(1+3)^n=4^n

二项式系数和=2^n

∴4^n-2^n=992

解得2^n=32

∴n=5

(1)

n=5

∴展开式有6项

二项式系数最大的项是第3,4项

(2)

展开式通式T(k+1)

我用图表示

有理项

即15-5k能被6整除

k取值为0,1,2,3,4,5

k=3

∴有理项是C(5,3)*3^3=10*27=270

（3）

系数为C(5,k)*3^k

要求C(5,k)*3^k≥C(5,k+1)*3^(k+1)

且C(5,k)*3^k≥C(5,k-1)*3^(k-1)

解不等式组

k=4，过程如图

展开式中系数最大的项=C(5,4)*3^4*x^(-5/6)=405*x^(-5/6)