Question

二元函数微分的两种定义为何等价

二元函数微分的两种定义为何等价

Answer 1

这两种定义definition，并没有任何实质性差别：

1、其中的 A = ∂z/∂x；其中的 B = ∂z/∂y；

2、由于 dx 写成了 △x，dy 写成了 △y，dz 写成了 △z，也就是说，
在精确的表达之下 dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy，误差就不存在了；

3、在引入精确概念之前，
△z = A△x + B△y + o(ρ)，
其中的 o(ρ) 是高阶无穷小，也就是误差error之意，
这是将误差合二为一的表示方法(combination)。

△z = A△x + B△y + ε1 △x + ε2 △y
其中的 ε1 、ε2 是高阶无穷小，ε1 △x + ε2 △y 也是误差error之意，
这是将误差一分为二的表示方法(specification)。

4、说明一下：
o(ρ)， 这是一种表示高阶无穷小的方法，它又分为两种：
big notation O(ρ)；small notation o(ρ)。
在国内的大学教学中，没有严格区别，是混用的。
写出来的是small notation，括号里的却是big notation。
由于绝大多数的大学教师、教授的英文，乏善可陈，几近于英文文盲，
再加上长期的盲目自大、自吹自擂、刚愎自用的性格，完全不可理喻。

至于ε-δ的教学法，英文是 epsilon-delta method，我们翻译为ε-δ语言，
在教学中，不是神秘兮兮地不得要领，就是肢解曲解。翻开任何一本
大学《微积分》，误导之处，比比皆是。