Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a,0）,B（b,0）C（-1,2）,且a最接近-根号3的整数，a

如图1，在平面直角坐标系中，A（a,0）,B（b,0）C（-1,2）,且a最接近-根号3的整数，a是b的平方根。⑴求出a，b的值⑵①在x轴的正半轴上存在一点M，使S△com=1/2S△abc,求出点M的坐标；②在坐标系的其他位置是否存在点M，使S△COM=1/2S△ABC仍然成立，若存在，求出符合条件的点M坐标。

Answer 1

可以求出a=-2, b=4

下面这道例题参考一下. 

如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(-1,2),且|2a+b+1|+(a+2b-4)的平方=0. 

（1）求a,b的值；（2）在X轴的正半轴上存在一点M,使▷COM的面积=1/2▷ABC的面积,求出点M的坐标；在坐标轴的其他位置是否存在点M,使▷COM的面积=1/2▷ABC的面积仍然成立,若存在,请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2,过点C作CD⊥Y轴于点D,点P为线段CD延长线上一动点,连接OP,OE平分∠AOP,OF⊥OE.当点P运动时,∠OPD/∠DOE的值是否会改变?若不变,求其值；若改变,说明理由.

(1)∵|2a+b+1|+(a+2b-4)²=0.
∴2a+b+1=0,且a+2b-4=0.
解得:a= -2,b=3.
(2)∵S⊿COM/S⊿CAB=1/2.
∴OM/AB=1/2;(同高的三角形面积比等于底边之比）
∴OM=AB/2=[3-(-2)]/2=5/2,即X轴正半轴上的点M为(5/2,0);
在X轴负半轴上有符合条件的点M,为（-5/2,0）；
在Y轴正半轴上有符合条件的点M,为（0,5）；
在Y轴负半轴上有符合条件的点M,为（0,-5）.
(3)∠OPD/∠DOE的值不变,总等于2.
设垂直于OE的直线OF交直线CP于F.
∵∠EOF=∠DOB=90°(已知)
∴∠DOE=∠BOF;
∵2∠POE+2∠POF=2(∠POE+∠POF)=180°,即∠POA+2∠POF=180°;
又∠POA+∠POF+∠BOF=180°.(平角的定义)
∴∠POF=∠BOF,故∠POB=2∠BOF=2∠DOE;
又PD∥OP,故∠OPD=∠POB=2∠DOE,∠OPD/∠DOE=2.