Question

用极限定义证明数列时为什么要对n进行限定

例2、例3的证明过程中，为什么要限定n>=3？例2中，n>1+1/e时，取N=1+[1/e],为什么例3中n>1/e+2时，却取N=[1/e+2]+1

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Answer 1

理解出了偏差：
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1、n 趋向于无穷大，无穷大 = infinitesimal，它不是一个很大很大的数，
任何数，无论多大，只要能写得出来，都不是无穷大；
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2、无穷大是一个过程，是 process，是 approaches，是 goes，是越来
越大、无止境大下去的过程；
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3、由于 n 是无止境的大下去的过程，任何限制它大下去的过程，都是不
合理的；从任何一个具体的数，只要能写出来的具体的、无论多大的数，
都不违背无穷无尽地大下去的过程，都是合理的；
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4、本题 n 从 3 开始，是合情合理的，即使从33、3333、3333333开始，
都是合理的。不是限制 n，因为 n 必须趋向于无穷大，只要不限制它趋
向于无穷大，都是合理的；何况本题的分式，并不允许 n = 2；
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5、至于取整后，再加 1，完全是理论上的严密性；即使是在取整后再加
一百万、再加一千万、、、、都是合理的；.
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6、由于太多的教师，他们本身也只是死记硬背，教学从来都是照本宣科，
师徒口耳相传，始祖牵强附会，徒子徒孙就只剩道听途说，听他们讲课，
不但味同嚼蜡，更重要的是会毁灭智商；
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7、加油吧！
我们在当代数学、当代科学研究中失魂落魄，处于三流开外，任何理论
的建立，任何当代理论的兴起，都是鬼子的事情，都与我们无缘，落魄
就是从极限理论开始的！我们的祖先，跟鬼子的祖先相比，不相上下！
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追问

那例3是不是也可以取N=[1/e]+2

例3明白了，例2又不明白了。。仿照例3的思想，例2中，ε是一个任意小的数，1/ε 就可能很大，取整 【1/ε】后，事实上，可能变小了，再加 1，应该是取N＝[1+1/ε]+1.为什么例2中可以取=1+[1/ε]

追答

ε - N 证明方法是：无穷列举法。

把无穷列举法，高度理论化；
A 说极限是多少多少，譬如说是 S；
B 不信；
A 问 B 怎样才信？
B 说：如果你用函数算出来的值，跟极限值小于0.1，我就信；
A 算了一下，给了 B 一个数N，告诉B，从N 的后面起，差值小于0.1；
B 改口说，要小于0.01，我就信；
A 又算了一下，又给了B一个N，从N后面起，两者之差小于0.01；
B 又改口，A又算；B再改口，A再算；
B 一直无休无止地改口，无止境地耍赖皮；
A 说，这样吧，你给一个象征性的很小的数，我给你一个公式，你自己算吧；
B 给了一个 ε，A 算出一个N，这个 N 跟 ε 有函数关系；

这样终于堵住了A的口。

从任给一个可以很小很小的正数 ε，到算出一个 N，

就是将一个无穷列举的过程，变成了严格的理论，而且特别强调了
极限理论中最最最最重要的概念 tendency = 趋势。汉语的教学，
一般教师习惯了大大咧咧，对 tendency、approaches、trend、
goes、endless、、、、眼高手低了，而对于极限的限字过多误导。

B 的计算过程，有可能由于函数式的原因，涉及到几个 N，他必须
给最大的 N，才能堵住 B 的口。

另外，注意最后两行的 n，含义是不一样的：
倒数第二行，只需 n > ....., 这个 n 是解不等式得到的 n;
取 N = ....，这个N的意思，实际上就是刚刚解不定式得到的 n。
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则当 n > N ，..... 这里的 n，不是刚才的 n，而是原来极限中的 n。
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极限理论已经成熟几百年了，我们迄今的教学，依然是乱七八糟。
大学毕业生，学过极限理论，但是囫囵吞枣者占绝对比例。
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教微积分理论一辈子，最后还是牵强附会的教师、教授，比比皆是。
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加油吧！
未来靠你们！
靠你们自己！

追问

谢谢老兄！！！点赞点赞点赞！！！

Answer 2

可能N代表比较好吧