Question

三角形任意两边之差小于第三边，怎么么证明的

Answer 1

证明：设三角形的三边长分别为a,b,c,由两点之间直线最短，可得a+b>c。

根据不等式定理——不等式两边同时加或减同一个数，不等式方向不变，可得，a>c-b和b>c-a，同理，可证明其它。

即三角形中两边之差小于第三边。

相关应用：

一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是4 cm或6 cm。

可先求出第三边的取值范围．再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数（偶数+偶数=偶数），从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长。

解：设第三边长为x，

则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．

又x为偶数，

因此x＝4或6。

扩展资料

一、三角形的三边关系：

在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。

设三角形三边为a,b,c

则

a+b>c

a+c>b

b+c>a

a-b<c

a-c<b

b-c<a

在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。

则两直角边的平方和等于斜边平方。

在等边三角形中，a=b=c

在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b

在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc。

二、三角形的三边关系定理及推论：

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形；

②当已知两边时，可确定第三边的范围；

③证明线段不等关系。

参考资料来源：百度百科-三角形

Answer 2

设在三角形ABC，若AB＞BC，求证：AB-BC＜AC。

证明：

延长BC到D，使BD=AB，连接AD。

∵BD=AB，

∴∠D=∠BAD，

∵∠CAD=∠BAD-∠BAC=∠D-∠BAC，

∴∠CAD＜∠D

∵在△ACD中，∠CAD＜∠D，

∴CD＜AC（大角对大边），

∵CD=BD-BC=AB-BC，

∴AB-BC＜AC。

扩展资料：

三角形的性质：

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形有四线，分别为中线，高，角平分线、中位线。其性质分别有：

1、中线

定义：三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形有3条中线。

性质：三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心，重心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）。

2、高

定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。

性质：

（1）锐角三角形：三条高都在三角形的内部。交点也在三角形的内部。

（2）直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。交点是直角的顶点。

（3）钝角三角形：钝角的两边上的高在三角形外部。交点在三角形的外部。

3、角平分线

定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

性质：

（1）三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。 

（2）三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

4、中位线

定义：三角形的三边中任意两边中点的连线。

性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。

Answer 3

三角形任意两条边之差小于第三边。

设在三角形ABC，若AB＞BC，求证：AB-BC＜AC。

证明：

延长BC到D，使BD=AB，连接AD。

∵BD=AB，

∴∠D=∠BAD，

∵∠CAD=∠BAD-∠BAC=∠D-∠BAC，

∴∠CAD＜∠D

∵在△ACD中，∠CAD＜∠D，

∴CD＜AC（大角对大边），

∵CD=BD-BC=AB-BC，

∴AB-BC＜AC。

Answer 4

1、设三角形的三边长分别为a,b,c,由两点之间直线最短，可得a+b>c，根据不等式定理——不等式两边同时加或减同一个数，不等式方向不变，可得，a>c-b和b>c-a，同理，可证明其它。
即三角形中两边之差小于第三边。
2、延伸：
证明三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
证明：设三角形ABC的三个顶角A、B、C所对的边为a、b、c，
则固定a、b的长度，并固定边a不动，边b围绕C点转动，
那么在边b转动过程中，点A与点B之间的距离，即边c的长度就在变化；
易知，在边b转动的过程中，
A、B两点的最短距离是，A、B、C共线，且∠ACB=0°，则c(min)=|a-b|；
A、B两点的最长距离是，A、B、C共线，且∠ACB=180°，则c(max)=a+b。
然而要想三点A、B、C能连成一个三角形，这三点是不能共线的，
即只有边c在它的两个极值之间变化才能构成一个三角形，
即边c必须满足|a-b|＜c＜a+b，即常说的：
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

注：min是最小值，max是最大值的意思！

Answer 5