Question

抛物线y=ax^2+bx-4a

如图，抛物线y=ax^2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点，与x轴交于另一点B
求抛物线的解析式；
已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标

Answer 1

解：
将A、C两点的坐标代入抛物线方程解得：a=-1,b=3。所以抛物线的解析式为：
y=-x^2+3x+4
将D点的坐标代入抛物线方程得：m=-1,或m=3,因为已知点D在第一象限，所以m=3
D(3,4).CD//AB，CD=3.因为B(4,0),所以，OB=OC,∠OBC=∠BCD=45°,设D关于BC直线的对称点为E，则CE=CD=3,且∠DEC=45°,所以E点在Y轴上，OE=OC-CE=1,E(0,1)即为所求。
方法一：已知∠DBP=45°，由（2）知，DE=CE=3√2/2,BE=BC-CE=5√2/2
又，∠OBC=45°，连接BP,有：∠OBP=45°-∠PBC=∠CBD,过D作DE⊥BC交BC于E,则：
Rt△PBF∽Rt△BDE,DE:BE=PE:BF，设BF=t,则PF=(DE:BE)*PF=3t/5,FO=t-4,得：F(4-t,3t/5)
将F点的坐标代入抛物线方程得到：3t/5=-(4-t)^2+3(4-t)+4=5t-t^2
解方程得：5t^2-22t=0,t=0（舍去）或t=22/5,PF=66/25,4-t=-2/5,P(-2/5,66/25)
方法二、
过D作DH⊥AB于H,DQ⊥BD交BP延长线于Q,QF⊥DH于F.
由∠DBP=45°可得：DQ=BD,所以，QF=DH=4,DF^2=BD^2-16=17-16=1,DF=BH=1
Q(-1,3),BQ所在直线方程：y=-3x/5+12/5与抛物线方程联立得到：
x^2-18x/5-8/5=0,即(x-4)(x+2/5)=0.由此得到：P(-2/5,66/25)

Answer 2

如图，抛物线Y=ax^+bx-4a经过A(-1,0)、C(0，4）两点，与x轴交于另一点B，
（1）求抛物线的解析式；
将点A(-1,0)、B(0,4)代入抛物线解析式，得到：
a-b-4a=0，即3a+b=0……………………………………………（1）
0+0-4a=4…………………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：
a=-1
b=3
所以，抛物线解析式为：y=-x^2+3x+4

（2）已知点D（m、m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称点的坐标；
点D（m、m+1)在第一象限的抛物线上，则m＞0
且，-m^2+3m+4=m+1
即：m^2-2m-3=0
所以：(m-3)(m+1)=0
则，m=3，或者m-1（舍去）
所以，点D(3,4)
又，y=-x^2+3x+4，它与x轴的交点为：-x^2+3x+4=0
即：x^2-3x-4=0
亦即：(x-4)(x+1)=0
所以，x=4，或者x-1
那么，点B(4,0)
已知点C(0,4)、B(4,0)、D(3,4)
那么，△BOC为等腰直角三角形
且CD//x轴
所以，∠DCB=∠OCB=45°，即CB平分∠DCO
那么，点E在y轴上
而，D、E关于BC对称
那么，CE=CB=3
所以，OE=OC-CE=4-3=1
所以，点E(0,1)

（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标
设BC、DE相交于点F，过点P作x轴的垂线，垂足为Q
P点坐标为P(a,b)
因为DE关于BC对称
所以，DE⊥BC
所以，∠DFB=90°
由前面知，∠CBO=45°
即，∠PBQ+∠PBC=45°
已知∠DBP=45°，即∠DBF+∠PBC=45°
所以，∠PBQ=∠DBC
所以，Rt△DFB∽Rt△PQB
那么，DF/FB=PQ/QB……………………………………………（*）
已知点B(4,0)、C(0,4)
所以，过BC的直线方程为：y=-x+4
已知点D(3,4)、E(0,1)
所以，过DE的直线方程为：y=x+1
所以，点F的横坐标为-x+4=x+1，即x=3/2，则y=(3/2)+1=5/2
所以，点F(3/2,5/2)
那么：DF=√[(3-3/2)^2+(4-5/2)^2]=(3√2)/2
BF=√[(4-3/2)^2+(0-5/2)^2]=(5√2)/2
PQ=b
BQ=4-a
将上述各数据代入(*)得到：[(3√2)/2]/[(5√2)/2]=b/(4-a)
所以，3/5=b/(4-a)
则，b=(3/5)(4-a)………………………………………………（1）
而点P在抛物线上，所以满足抛物线方程，即：
b=-a^2+3a+4……………………………………………………（2）
联立(1)(2)就有：
(3/5)(4-a)=-a^2+3a+4
===> 3(4-a)=-5a^2+15a+20
===> 12-3a=-5a^2+15a+20
===> 5a^2-18a-8=0
===> (5a+2)(a-4)=0
===> a=-2/5，或者a=4（舍去，因为此时P与B重合，那么∠DBP可以认为是任意角度，当然就可以认为是45°）
故，b=(3/5)*(4-a)=(3/5)*[4+(2/5)]=(3/5)*(22/5)=66/25
所以，点P(-2/5,66/25)

图:http://dl.zhishi.sina.com.cn/upload/13/93/27/1477139327.16586778.bmp

仅供参考:

①∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）C（0,4）
∴把A点坐标代入抛物线方程得关于a、b的方程组：
a-b-4a=0
-4a=4
解得：a=-1，b=3
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4
②∵D（M,M+1）在第一象限的抛物线上
∴M+1=-M²+3M+4（M>0）
解得M=3 ∴D(3，4)
∵抛物线与x轴交于另一点B
∴B（4，0）∴直线BC方程：y=-x+4
∴点D关于直线BC对称点的坐标：（0，1）

Answer 3

(1)由于抛物线经过A、C两点，则a×（－1）^2＋b×（－1）－4×a＝0；a×0^2＋0×4－4×a＝4。两式化简得－b－3a＝0；－4×a＝4。解得a＝－1，b＝3
抛物线得解析式式y＝－x^2+3x+4
(2)将点D代入抛物线得－m^2＋3m＋4＝m＋1；化简得（m－3）（m＋1）＝0
解得m＝3或m＝－1（舍去，不符合题意）所以D点的坐标是（3，4）
而由－x^2+3x+4＝0，解得x＝－1和x＝4，所以B点的坐标是（4，0）
直线BC的解析式是y－0＝【（4－0）/（0－4）】×（x－4），化简得y＝－x＋4
设D的对称点坐标为M（x，y），则DM的中点落在直线BC上，可得方程－（x＋3）/2＋4＝（y＋4）/2，再由DM垂直于BC可得DM的斜率为（y－4）/(x
-3)=1.由两个式子解得M（0，1）
（3）计算BD的的长为BD＝根号内[（4－3）^2+(0-4)^2]＝根号（17）；
过点D作垂直于BP交BP于点N（x1，y1），则三角形BDN是等腰直角三角形。由于斜边BD＝根号（17），所以BN=DN＝根号（34）/2，由DN的坐标可得（3－x1）^2+(4-y1)^2={[根号（34）]/2}^2，由此解得N点的x1与y1的关系。又由于B、N、P三点在一直线上，P点又是在抛物线上，由两个方程解出P的坐标。

实在是太难打数学符号了，希望你看得懂

Answer 4

0=a-b-4a=-3a-b
3a+b=0 b=-3a
4=-4a
a=-1
b=3
抛物线的解析式
y=-x^2+3x+4

另一点B (4,0)
点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上
m+1=-m^2+3m+4
m^2-2m-3=0
m=-1 (舍去) 或 m=3
D(3,4)
直线BC的方程
x+y-4=0
过D作BC的垂线，垂足为E，对称点F
DF的方程
y=x+1
E(3/2,5/2)
对称的点的坐标(0,1)

2、设BP的斜率k
1=(k+4)/(1-4k)
k=-3/5
BP的方程
y=-3(x-4)/5
y=-x^2+3x+4
5x^2-18x-8=0
(x-4)(5x+2)=0
x=4 B点 x=-2/5
y=66/25
点P的坐标 (-2/5,66/25)