Question

如何解线性方程组，使得向量组等于空间解的向量组？

Answer 1

通过分别令自由变量为1，解出其它变量，得到一个解向量。

基础解系需要满足三个条件：

1、基础解系中所有量均是方程组的解。

2、基础解系线性无关，即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示。

3、方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。

值得注意的是基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。

证明方法：

对于m个方程、个未知数的齐次线性方程组Ax =0，系数矩阵记为A,其秩记为rA),齐次线性方程组总有零解，不存在无解的情况，且其有非零解的等价条件为r(4) < n ,即系数矩阵A中的列向量a,a2,...,0n线性相关。而且齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是该线性方程组的解。证明如下：

设x1，x2是Ax= 0的两个不相等的解向量，即有：

Ax1 = 0,Ax2= 0

令x=ki●x1 +k2●x2，其中k1,k2为任意实数，即x称为x1，x2的线性组合，且有：

设x1，x2是Ax= 0的两个不相等的解向量，即有:

Ax1 = 0,Ax2= 0

令x=ki●x1 +k2●x2，其中k1,k2为任意实数，即x称为x1，x2的线性组合，且有：

Ax= A(k1●x1 +k2●x2)= k1●(Ax1)+ k2●(Ax2)=ki●0+k2●0=0

即可得，x也是Ax=0的解。