如何解线性方程组,使得向量组等于空间解的向量组?
通过分别令自由变量为1,解出其它变量,得到一个解向量。
基础解系需要满足三个条件:
1、基础解系中所有量均是瞎凳培方程组的解。
2、基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示。
3、方程组的任意解均可由基础解系线性表出,即方程组的所有解都可以用粗银基础解系的量来表示。
值得注意的是基础解系不是唯一的,因个人计算时对自由未知量的取法而异。
证明方法:
对于m个方程、个未知数的齐次线性方程组Ax =0,系数矩阵记为A,其秩记为rA),齐次线性方程组总有零解,不存在无解的情况,且其有非零解的等价条件为r(4) < n ,即系数矩阵A中的列向量a,a2,...,0n线性相关。而且齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是该线性方程组的解。证明如下:
设x1,x2是Ax= 0的两个不相等的解向量,即有:
Ax1 = 0,Ax2= 0
令x=ki●x1 +k2●x2,其中k1,k2为任意实数,即x称为x1,x2的线性组合,且有:
设x1,x2是Ax= 0的两个不相等的解向量,即有:
Ax1 = 0,Ax2= 0
令x=ki●x1 +k2●x2,其中k1,k2为任意实数,即x称为x1,x2的线磨唯性组合,且有:
Ax= A(k1●x1 +k2●x2)= k1●(Ax1)+ k2●(Ax2)=ki●0+k2●0=0
即可得,x也是Ax=0的解。
2024-04-02 广告