用洛必达法则求极限limx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]
limx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]的极限等于:1/2。
limx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]
=[x-ln(x+1)]/xln(x+1)
=[x-ln(x+1)]/x^2 【 ln(x+1)和X是等价无穷小,在x趋于0时】
=[1-1/(x+1)]/2x 【0/0型洛必达法则】
=x/2x(x+1)
=1/2
扩展资料:
极限的求法有很多种:
1、连续初等函数,在定义域范围内求极限,可以将该点直接代入得极限值,因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子(针对于0/0型)。
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替换求极限,可以将原式化简计算。
6、利用两个极限存在准则,求极限,有的题目也可以考虑用放大缩小,再用夹逼定理的方法求极限。
7、利用两个重要极限公式求极限。
limx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]的值为1/2。
解:lim(x→0)(1/ln(x+1)-1/x)
=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*ln(1+x)))
=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*x)) (当x→0时,ln(1+x)等价于x)
=lim(x→0)((1-1/(1+x))/(2x)) (洛必达法则,同时对分子分母求导)
=lim(x→0)(x/(1+x))/(2x))
=lim(x→0)(1/(2*(1+x)))
=1/2
扩展资料:
1、极限的重要公式
(1)lim(x→0)sinx/x=1,因此当x趋于0时,sinx等价于x。
(2)lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e,或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。
(3)lim(x→0)(e^x-1)/x=1,因此当x趋于0时,e^x-1等价于x。
2、极限运算法则
令limf(x),limg(x)存在,且令limf(x)=A,limg(x)=B,那么
(1)加减运算法则
lim(f(x)±g(x))=A±B
(2)乘数运算法则
lim(a*f(x))=a*limf(x),其中a为已知的常数。
3、洛必达法则计算类型
(1)零比零型
若函数f(x)和g(x)满足lim(x→a)f(x)=0,lim(x→a)g(x)=0,且在点a的某去心邻域内两者都可导,且
g'(x)≠0,那么lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。
(2)无穷比无穷型
若函数f(x)和g(x)满足lim(x→a)f(x)=∞,lim(x→a)g(x)=∞,且在点a的某去心邻域内两者都可导,且
g'(x)≠0,那么lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。
参考资料来源:百度百科-极限
参考资料来源:百度百科-洛必达法则
2015-11-14