Question

如何判断矩阵A与B是否相似

Answer 1

判断矩阵A，B是否相似的步骤：1，判断A,B的特征值及重数是否完全相同。不相同不相似，相同则第2步，判断A，B是否都可相似对角化，都可对角化，AB相似。一个可以相似对角化一个不可以，那么AB不相似。如果两个都不可相似对角化，判断A的每一个特征值对应的线性无关特征向量个数是否分别与B相同特征值对应的特征向量个数全部相同，如果相同，那么相似。对于最后一个A,B都不相似，举一个例子：比如A,B的特征值是a，b，c......,其中A矩阵特征值a对应的线性无关特征向量有两个，B矩阵特征值a对应的线性无关特征向量有一个，那么AB不相似,只有所有特征值a,b,c...对应的所有线性无关的特征向量个数分别相同，那么相似。
下面介绍A,B均相似对角化的情况下，A，B相似，求可逆矩阵P，使得B=(P^-1)AP。(P1^-1)*A*P1 = (P2^-1)*B*P2 = diag(r1,r2,.....,r3)，B=（P1*P2^-1)^-1 * A * (P1*p2^-1),所以P=P1*p2^-1。