Question

证明lim(x→+∞)(x-1)/(x+1)=1 请用极限定义证明~

Answer 1

极限定义：设{Xn}为一无穷数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε成立，那么就称常数a是数列{Xn}的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记为
lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）
如果数列没有极限，就说数列发散
解答：现取ε=2/（x+1），当x→+∞时，总存在|（x-1)/(x+1)-1|<=ε
所以证得lim(x→+∞)(x-1)/(x+1)=1

追问

不明白为什么X这样取

追答

其实 就是把1带进去 算出来的一个ε，然后ε无穷小就可以

Answer 2

任意给定一个 ε > 0
都存在一个 N = 2/ε - 1
使 x > N 时
|(x-1)/(x+1) - 1| = 2/(x+1) < 2/(N+1) = 2/(2/ε) = ε
因此，lim(x→+∞)(x-1)/(x+1) = 1

追问

但是答案取的是Xmax(2/ε-1,-1)

追答

答案糊涂了吧.... 2/ε - 1 在 ε>0 的时候，永远不可能 < -1
max(2/ε - 1, -1) 的结果，就是 2/ε - 1

max(2/ε - 1, 1) 还差不多.... 为了防止在 ε 太大的时候，x 取到负值..... 从而使论证“不严密”

Answer 3

=1-2·lim 1/(x+1)
对于任意小的正数ε
总存在δ=1/(X+1)，使得δ<ε
因此极限存在
且等于1