第三题，第四题怎么做？ 50
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解：(3)题，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=(1/2)lim(n→∞)(n+2)/n=1，∴收敛半径R=1/1=1。
而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，即丨x丨<R=1，又，x=±1时，级数发散，∴其收敛域为-1<x<1。
设S=∑x^(n+1)，则两边对x求导，有S'=∑(n+1)x^n，S''=∑n(n+1)x^(n-1)，∴xS''=∑n(n+1)x^n。在其收敛域内，S=(x^2)/(1-x)，∴∑n(n+1)x^n=2x/(1-x)^3。
(4)题，同(3)题一样求得，收敛半径R=1、收敛域为丨x丨<1。
在其收敛域内，设y=√x【x取负值时，取-x即可】，S=∑(2n+1)x^n=∑(2n+1)y^2n=[∑y^(2n+1)]'=[y/(1-y^2)]'=(1+y^2)/(1-y^2)^2=(1+x)/(1-x)^2。供参考。
而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，即丨x丨<R=1，又，x=±1时，级数发散，∴其收敛域为-1<x<1。
设S=∑x^(n+1)，则两边对x求导，有S'=∑(n+1)x^n，S''=∑n(n+1)x^(n-1)，∴xS''=∑n(n+1)x^n。在其收敛域内，S=(x^2)/(1-x)，∴∑n(n+1)x^n=2x/(1-x)^3。
(4)题，同(3)题一样求得，收敛半径R=1、收敛域为丨x丨<1。
在其收敛域内，设y=√x【x取负值时，取-x即可】，S=∑(2n+1)x^n=∑(2n+1)y^2n=[∑y^(2n+1)]'=[y/(1-y^2)]'=(1+y^2)/(1-y^2)^2=(1+x)/(1-x)^2。供参考。
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