Question

线性代数线性相关与无关的判断方法

Answer 1

第一种从定义出发寻找一组非零常数，第二种求常数项的秩或者行列式，第三种寻找向量的个数是多少，如果多数向量可以由少数向量线性表示那么多数向量一定是线性相关。

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　　设A为a1(1,0,6,a1),a2(1,-1,2,a2),a3(2,0,7,a3),a4(0,0,0,a4)。判断哪些向量一定是线性相关的，并且a1,a2,a3,a4是任意常数。a2,a3,a4秩的确定跟a的取值有关系，首先一行以及2,3，一定是线性相关。a1,a2,a3,a4一定是线性无关的无论a取任何值，秩一定是3的。

　　考察极大线性无关组的定义，定义里说存在r个向量使得线性无关但是再加进去任何一个向量就变成线性相关的了。这里确定的是加入任何一个向量一定是线性相关的，但是这r个向量却不一定是线性无关的。

　　线性无关的定义，对于所有的向量其前面的所有的常数都是0向量组才等于0向量那么这个向量组是线性无关的。换一句话就是只要存在一个常数不是0那么这个向量组一定不是线性相关或者说是方程一定不是齐次的`。

　　已知一个矩阵以及增广矩阵去证明b向量可以由A向量组线性表示，那么首先确定的就是A的秩假设为r那么加进去以后秩还是一样可以得到一个十字r(a1,a2,a3...at)=r(a1,a2,a3...at,b)容易发现其实就是线性表示的等价。

　　从极大线性无关组出发假设A的极大线性无关组是a1...ar，那么增广矩阵的秩等于A的秩也就是说增广矩阵是线性相关的。根据定义一个向量组线性无关填进去任何一个向量就变成线性相关的那么这个新填进去的一定是可以被线性表示的，并且表示方法是唯一的。