Question

高中数学问题，题目见图片

Answer 1

P[14]如果不考虑元素重复，应该有14×14=196个元素。然后考察有多少重复的元素。
如果存在m1/√k1=m2/√k2(m1<m2, k1<k2), 那么m1/m2=√(k1/k2)
因为√(k1/k2)结果是有理数，必定存在一个整数a, 使得k1/a与k2/a都是完全平方数
如果a=1, 可以有k1=1²a, k2=2²a或k1=1²a, k2=3²a或k1=2²a, k2=3²a
如果a=2, 可以有k1=1²a, k2=2²a
如果a=3, 可以有k1=1²a, k2=2²a
也就是说组合(k1,k2)只有(1,4),(1,9),(4,9),(2,8),(3,12)共计5种情况。
在(k1,k2)组合为(1,4),(2,8),(3,12)时，(m1,m2)分别有7种重复，
在(k1,k2)组合为(1,9)时，(m1,m2)有4种重复，
在(k1,k2)组合为(4,9)时，(m1,m2)有4种重复，
可以列举所有使得元素重复的(k1,k2,m1,m2)情况：
(1,4,1,2),(1,4,2,4),(1,4,3,6),(1,4,4,8),(1,4,5,10),(1,4,6,12),(1,4,7,14),(2,8,1,2),(2,8,2,4),(2,8,3,6),(2,8,4,8),(2,8,5,10),(2,8,6,12),(2,8,7,14),
(3,12,1,2),(3,12,2,4),(3,12,3,6),(3,12,4,8),(3,12,5,10),(3,12,6,12),(3,12,7,14),
(1,9,1,3),(1,9,2,6),(1,9,3,9),(1,9,4,12),
(4,9,2,3),(4,9,4,6),(4,9,6,9),(4,9,8,12),
共计7×3+4+4=29种重复情况，因此P[14]的元素个数为196-29=167

追问

个人感觉有181种，请看下图

追答

你没考虑√2与√8的7种，以及√3与√12的7种。

比如1/√2=2/√8以及1/√3=2/√12

追问

√2与√8的7种，以及√3与√12的7种这两个7种是哪七种？你列举一下拍个照片发过来？个人感觉因为m和k必须都是整数，所以不存在这几种

追答

看上面我给你举的例子，你自己写的最左边不是有7种么，只要把分母分别替换成√2和√8就是7种，再替换成√3和√12就又是7种，我在外面吃饭，不方便在纸上写，见谅。

追问

你好，还在吗？能帮我看下底下这个问题吗？

追答

题目我不是非常理解。A,B是任意正整数么？

追问

对，A,B均∈N+

追答

当AB是完全平方数满足条件。

AB不是完全平方数就不能化成你想要的那个形式。

追问

当A与B是完全平方数相同的倍数时也可以.例如A=18,B=8,约分后就是9/4.

追答

我说的AB是AB的乘积，只要乘积是完全平方数就符合你的要求。

追问

能给出原因吗？为什么AB是完全平方数就可以？

感觉你的每个回答很专业很有逻辑.能问下您的年龄和职业吗.崇拜ing

追答

分数必然分子分母乘或除同一个正整数，得到的结果中分子分母的乘积是完全平方数，所以原数分子分母乘积也是。

公鸡打鸣打的好，不一定非要认识这只公鸡呀╮(╯▽╰)╭

追问

能拜你为师吗，哈哈😄

追答

水平太渣，没脸收徒弟呀╮(╯_╰)╭

追问

你好，还在吗？其实“分数必然分子分母乘或除同一个正整数，得到的结果中分子分母的乘积是完全平方数，所以原数分子分母乘积也是。”这句话我没听太懂

追答

就是说如果A/B可以化成a²/b²(a, b互质), 那必然存在一个正整数k, 使得A=ka², B=kb², a²b²是完全平方数，AB=k²a²b²也是完全平方数。

追问

a与b为什么互质呢？互质的定义是不是:如果两个整数的公约数只有1，则这两个整数互质.？

还有k为什么非得是整数，k有没有可能是真分数？

例如72/32=36/16=6²/4²,6和4就不互质

追答

因为可以接着化成3²/2²

当要求a,b互质之后就不可能是分数了。

追问

“如果a与b互质，则a²与b²互质”，怎么证明这句话是正确的？

追答

可以用反证法来证。

假设a²与b²不互质，那么必定存在一个质数p，使得a² mod p=0且b² mod p=0, 由于p是质数，可以推出a mod p=0且b mod p=0, 这与a,b互质是矛盾的，假设不成立，原命题得证。

中间用到一个引理，如果a² mod p=0且p是一个质数，那么a mod p=0.

以上是一种证明方法。

刚才你新提的那个问题底下的那个叫空罐少年的人提醒了我，这个问题有另一种证明方法。

首先数学上有一个结论是，a与b互质，当且仅当存在整数p和q，使得pa+qb=1.

……算不出来了，年纪大了脑子不好用了-_-||还是看前一种解法吧。

追问

mod这个东西是大学之后的知识吧？有没有能让高中水平的人听懂的？因为那个mod一窍不通

算了，我先百度自学一下mod

追答

n mod p=0的意思就是n是p的整数倍，因为不想中英文来回切换，就偷了个懒╮(╯▽╰)╭

追问

又有一个问题，您看怎么证明一下，问题如下:
若a与b不互质(a,b均为正整数)，则a与b必定至少有一个公共的质因数

追答

……这种东西证明起来很烦的……首先a与b不互质的定义是存在一个大于1的公约数。

结论1:如果一个整数q可以整除a与b的公约数c，那么这个整数可以整除a与b. 因为a与b是c的倍数，c是q的倍数，所以a与b是q的倍数，结论得证。
结论2:任意大于1的整数d都可以被一个质数p整除。①如果d本身是一个质数，那d可以被自己整除，结论得证;②如果d本身不是质数，根据定义，d存在一个因数d1(1＜d1＜d), 如果d1是质数，问题得证，否则存在因数d2, ..., 由于每次得到的因数都比原数小，因此在有限的步骤(不超过log d,底数是2，如果你觉得这个上限有问题，也可以取d-2作为上限)次之后一定会得到一个质数2，因此任意大于1的整数都会被某个质数整除。
综上，a与b不互质时，由于存在质数可以整除a与b的大于1的公约数，因此a与b存在公共质因数。

追问

中间用到一个引理，如果a² mod p=0且p是一个质数，那么a mod p=0.这个引理又要怎么证明呢?…………我实在是太笨~多谢哈

追答

证明过程稍微有点麻烦。

首先我们记a与b的最大公约数是(a, b)

追问

还在吗？你好

嗯.

追答

我们可以证明如果(a, b)=1, 那么(ac, b)=(c, b).基于这一结论，我们可以得到(a², p)=(a, p)

然后我们再来证明这个结论。

由于(ac, b)可以整除ac, 可以整除b，可以整除bc, 因此可以整除ac和bc的最大公约数c.

因此(ac, b)可以整除(b, c)

(b, c)可以整除b和c和ac，所以可以整除(ac,b)

两者相互可以整除，因此两者相等。

追问

嗯

追答

如果你对这些证明感兴趣，可以找本数论基础来看，数论里会详细介绍这些结论是如何从定义出发一点点证明出来的。

追问

高中水平能看懂吗？数论是大学内容吗？数论类书籍比较出名的有哪些？买什么出版社的？谁主编的？

追答

数论的基础部分只要逻辑思维好一点就能看懂，不需要什么背景知识，但越往后越难，数论是大学的内容，也是高中数学竞赛的内容之一，所以高中数学比较好的就可以看懂了。数论书籍我没怎么看过，就不是很清楚哪个好了，你可以在网上搜一搜问一问什么的。

Answer 2

m和k各有14个选择，不考虑重复共196个元素
k的选择为1，根2，根3,2，根5，根6，根7，2倍根2，3，根10，根11，2倍根3，根13，根14
可能重复的有（根2，2倍根2），（根3，2倍根3）
这两种都需要m和2m都在I14这个集合中，也就是m有7种选择
即重复情况共有2*7=14种
最后结果是196-14=182种

追问

您在仔细算算，应该182再减4种.178种是我算的答案

追答

还有重复的
2跟3都会重复
对于2来说是7种，
对于3来说是4种，3,6,9,12
那应该再减11种吧？

追问

我刚才说错了，应该是181种，你看是不是下面的图片

追答

我感觉14/根8和7/根2也是一样的吧？你考虑了所有的分母整数相同的情况，好像没有考虑分母是无理数相同的情况？

Answer 3

我也是高中生，也不会