Question

线性代数第20题怎么做？

Answer 1

充分性：
因为列（或行）向量的秩都小于等于1，
则乘积A的秩也小于等于1
但秩不可能等于0，因为当秩等于0时，各行都为0，从而其中至少1个向量为零向量，与题意矛盾。
因此A的秩只能等于1

必要性：
r(A)=1

则可以使用初等行变换，将A变换成只剩下1行非零元素(y1,y2,...,yn) ，
即PA=xy
其中x=(1,0,...,0)T
y=(y1,y2,...,yn) （y非零向量）
P是初等矩阵的乘积，显然可逆，则
A=P^-1 xy

则令a=P^-1 x
y=bT
有
A=abT （显然其中a，b都不是零向量）
因此必要性得证。

综上所述，得知是充要条件

Answer 2

必要性：令b=(b1,b2…bn)则A=(ab1,ab2,…abn),设A中某一列向量abi!=0,则A中的其他列向量都可以用abi表示 所以R(A)=1.
充分性：设A=(β1,β2,…βn)且其中某一向量βi!=0,则由R(A)=1可知A中其它向量都可由它线性表示,即A=（k1βi…ki-1βi,βi,ki+1βi…knβi)
A=βi(k1,k2,…ki-1,1,ki+1…kn)=abT;其中列向量a=βi
行向量（k1,…1…kn)=bT 所以得证

追问

谢谢啦