Question

面面平行的判定定理

Answer 1

定理1

如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

已知α⊥l，β⊥l。求证α∥β

证明：假设它们不平行，那么它们相交，设交线为m。

设l与α的垂足为A，与β的垂足为B，在m上任意取一点P，连接PA、PB。

∵l⊥α，AP⊂α

∴l⊥AP

同理，l⊥BP

由于P和l构成一个平面，在这个新的平面上经过P就有两条直线AP、BP与l垂直，与垂直定理矛盾。

∴假设不成立，α∥β

推论

如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）

证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。

定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。

定理2

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

几何语言：a⊂α，b⊂α，且a∩b=A，a∥β，b∥β。则α∥β。

反证法证明：假设这两个平面不平行，那么它们相交，设交线为l。

∵a∥β

∴a与β无交点

同理，b与β无交点

∵l是两个平面的交线，l⊂β

∴a与l无交点，b与l无交点，那么它们平行或异面。

又∵a⊂α，b⊂α，l⊂α，即它们不异面

∴a∥l，b∥l

∴a∥b

这与已知条件a∩b=A矛盾，因此假设不成立，α∥β

向量法证明：设直线a，b的方向向量为a，b，平面β的法向量为p。

∵a∥β，b∥β

∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0

∵a，b是α内两条相交直线

∴设有任一向量c⊂α，根据平面向量基本定理可知，存在一对有序数对（x,y）使得c=xa+yb

那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0

即p⊥c

由c的任意性可知p与α内任一向量都垂直，即p也是α的法向量。

∴α∥β

定理3

如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

几何语言：a⊂α，b⊂α，且a∩b=A。c⊂β，d⊂β，且c∩d=B。a∥c，b∥d，则α∥β

证明：过A作直线l⊥β，先讨论垂足不是B的情况。设垂足为C，过C作m∥c、n∥d。

∵a∥c，m∥c

∴a∥m

由于两条平行直线确定一个平面，l在a与m确定的平面上（因为l经过A和C，而A∈a，C∈m）：

∵l⊥m

∴l⊥a

同理l⊥b

∵a∩b=A，a⊂α，b⊂α

∴l⊥α

∵l⊥β

∴α∥β（定理1）

当l与β的垂足是B时，则无需经过垂足作c、d的平行线这一步，后面证法完全相同。