Question

请问这道数学题怎么解 谢谢了！

Answer 1

积分区间D：0≤x≤2，x≤y≤√3x，1≤y/x≤√3,第一象限，y=x，π/4倾角的斜线与y=√3x，π/3倾角的斜线，x=2围成的△区域。
x=ρcosθ，y=ρsinθ，
0≤ρcosθ≤2，
x≤ρsinθ≤√3x，ρcosθ≤ρsinθ≤√3ρcosθ，
θ在第一象限，1≤tanθ≤√3，π/4≤θ≤π/3，
二重积分还原为微面积格式：
∫∫f(x,y)dσ
D

在极坐标系里面，微面积可以这样取：
位置为（ρ，θ）处，
dσ=ρdθdρ，半径为ρ，圆心为极点的细圆环上面在（ρ，θ）处的一小段。
将D分成扇形部分及余下的另一部分。
以极点O为圆心，ρ=2√2为半径（45°线与x=2的交点），画弧与y=√3x相交于（2√2，π/3）点。得一扇形区域D1，
该区域内部
∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(ρcosθ,ρsinθ)ρdθdρ
D1 ρ≤2√2，π/4≤θ≤π/3
=∫（0，2√2）ρdρ∫（π/4，π/3）f(ρcosθ,ρsinθ)dθ

余下区域D2，2√2≤ρ≤2/cosπ/3=4，θ=arccos（2/ρ）~π/3
∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(ρcosθ,ρsinθ)ρdθdρ
D2 2√2≤ρ≤4，arccos（2/ρ）≤θ≤π/3
=∫（0，2√2）ρdρ∫（arccos（2/ρ），π/3）f(ρcosθ,ρsinθ)dθ

下面的比较简单，积分区域已经是扇形区域：
x²+y²=ρ²
=∫∫ln（1+ρ²）ρdθdρ
=∫（0,2）ln（1+ρ²）ρdρ∫（0，π/2）dθ
=0.5（π/2）∫（0,2）ln（1+ρ²）d（1+ρ²）
∫lnxdx=xlnx-∫xdlnx=xlnx-∫x.1/xdx=xlnx-x+C
∴上述积分
=（π/4）[（1+ρ²）(ln（1+ρ²）-1)](0,2)
=（π/4）[5(ln5-1)-1（ln1-1）]
=（π/4）（5ln5-4）