Question

求y''+4y=xcosx的通解时，特解的方程应该如何计算

Answer 1

解:∵微分方程为y"+4y=xcosx ∴微分方程的特征根为sin2x、cos2x 又∵方程右式为xcosx ∴设方程的特解为y=(ax+b)sinx+(cx+r)cosx，y'=asinx+(ax+b)cosx+

+ccosx-(cx+r)sinx，y'=(a-cx-r)sinx+(ax+b+c)cosx，

y"=-csinx+(a-cx-r)cosx+acosx-(ax+b+c)sinx，

y"=(2a-cx-r)cosx-(ax+b+2c)sinx，有(2a-cx-r)cosx-

(ax+b+2c)sinx+4(ax+b)sinx+4(cx+r)cosx=xcosx，

(3ax+3b-2c)sinx+(3cx+3r+2a)=xcosx，有a=0，3b=2c，3c=1，3r+2a=0，得:a=0，b=2/9，c=1/3，r=0

∴方程的特解为y=(2/9)sinx+(x/3)cosx

请参考