高数第4题求解
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解：利用无穷小量替换求解。
∵x→0时，ln(1+x)~x-(1/2)x^2、e^x~1+x，
∴(1+x)^(1/x)=e^[(1/x)ln(1+x)]~e^(1-x/2)=e*e^(-x/2)~(1-x/2)e，∴[(1+x)^(1/x)]/e~1-x/2。
∴lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(1-x/2)^(1/x)=e^(-1/2)。
而lim(x→0-)f(x)=e^(-1/2)，∴lim(x→0+)f(x)=lim(x→0-)f(x)=f(0)。
∴f(x)在x=0处连续。
供参考。
∵x→0时，ln(1+x)~x-(1/2)x^2、e^x~1+x，
∴(1+x)^(1/x)=e^[(1/x)ln(1+x)]~e^(1-x/2)=e*e^(-x/2)~(1-x/2)e，∴[(1+x)^(1/x)]/e~1-x/2。
∴lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(1-x/2)^(1/x)=e^(-1/2)。
而lim(x→0-)f(x)=e^(-1/2)，∴lim(x→0+)f(x)=lim(x→0-)f(x)=f(0)。
∴f(x)在x=0处连续。
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