Question

二次函数的切线

Answer 1

f(x)=x²+ax+b,
则导函数f'(x)=2x+a,

(1)点(t,f(t))处切线斜率为f'(t)=2t+a,
设此点处切线方程为y=(2t+a)x+c,将点(t,f(t))坐标代入，得：
f(t)=(2t+a)t+c,
c=t²+at+b-2t²-at=b-t²
所以点(t,f(t))处的切线方程为y=(2t+a)x+b-t²。

(2)过点(1,0)可引两条切线，说明此点位于二次函数外侧区域。
设过点(1,0)且与函数相切的切线l的方程为y=px+m，
将点(1,0)代入得l得：m=-p。所以切线l方程为y=px-p。

切线l与二次函数在区间(-无穷,1]存在唯一交点(切点)，所以有：
x²+ax+b=px-p有唯一解（切点），且切点处的斜率为p。
则方程 x²+(a-p)x+(b+p)=0 有唯一解，判别式＝0，即(a-p)²-4(b+p)＝0。
方程的解为x=(p-a)/2<1。即为切点的横坐标。（p<a+2）
切点的纵坐标为：(p-a)²/4+a(p-a)/2+b。
切点处的切线方程为：y=px+b-(p-a)²/4，

同理，在区间[1,+无穷)，切线l与二次函数也存在唯一交点(切点)，
所以可得切点横坐标为x=(p-a)/2>1。（p>a+2）
切点的纵坐标为：(p-a)²/4+a(p-a)/2+b。
切点处的切线方程为：y=px+b-(p-a)²/4，

切点（(p-a)/2，(p-a)²/4+a(p-a)/2+b）也位于切线l上，所以有：
p(p-a)/2-p=(p-a)²/4+a(p-a)/2+b
化简后解得p=a+2±2√(a+b+1)。

p的两种取值，就代表过点(1,0)且与二次函数相切的两条不同切线的斜率。
若a+b+1>0即a+b>-1时，存在两条切线，其中p<a+2时为左侧切线的斜率，p>a+2时为右侧切线的斜率。
若a+b+1=0即a+b=-1，则只有一条切线。

以上结论已经过几何画板完美验证。

附件为几何画板中的演示，拖动A、B点可改变a、b的取值。