二次函数的切线

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jaxxcyhc3bea9
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f(x)=x²+ax+b,
则导函数f'(x)=2x+a,

(1)点(t,f(t))处切线斜率为f'(t)=2t+a,
设此点处切线方程为y=(2t+a)x+c,将点(t,f(t))坐标代入,得:
f(t)=(2t+a)t+c,
c=t²+at+b-2t²-at=b-t²
所以点(t,f(t))处的切线方程为y=(2t+a)x+b-t²。

(2)过点(1,0)可引两条切线,说明此点位于二次函数外侧区域。
设过点(1,0)且与函数相切的切线l的方程为y=px+m,
将点(1,0)代入得l得:m=-p。所以切线l方程为y=px-p。

切线l与二次函数在区间(-无穷,1]存在唯一交点(切点),所以有:
x²+ax+b=px-p有唯一解(切点),且切点处的斜率为p。
则方程 x²+(a-p)x+(b+p)=0 有唯一解,判别式=0,即(a-p)²-4(b+p)=0。
方程的解为x=(p-a)/2<1。即为切点的横坐标。晌源(p<a+2)
切点闭谨盯的纵坐标为轿和:(p-a)²/4+a(p-a)/2+b。
切点处的切线方程为:y=px+b-(p-a)²/4,

同理,在区间[1,+无穷),切线l与二次函数也存在唯一交点(切点),
所以可得切点横坐标为x=(p-a)/2>1。(p>a+2)
切点的纵坐标为:(p-a)²/4+a(p-a)/2+b。
切点处的切线方程为:y=px+b-(p-a)²/4,

切点((p-a)/2,(p-a)²/4+a(p-a)/2+b)也位于切线l上,所以有:
p(p-a)/2-p=(p-a)²/4+a(p-a)/2+b
化简后解得p=a+2±2√(a+b+1)。

p的两种取值,就代表过点(1,0)且与二次函数相切的两条不同切线的斜率。
若a+b+1>0即a+b>-1时,存在两条切线,其中p<a+2时为左侧切线的斜率,p>a+2时为右侧切线的斜率。
若a+b+1=0即a+b=-1,则只有一条切线。


以上结论已经过几何画板完美验证。

附件为几何画板中的演示,拖动A、B点可改变a、b的取值。

呈绅
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