Question

可导一定连续 连续未必可导 怎么证明

Answer 1

因为函数可导，根据可导的定义有limΔy/Δx=A（Δx趋向于0）

所以Δy/Δx=A+α（α是Δx趋向于0时的无穷小）

从而Δy=AΔx+αΔx

当Δx趋向于0时，显然limΔy=0

由连续定义有函数连续。

连续未必可导，比如y=|x|在x=0处连续，但左导数=-1，右导数=1，不可导

充分必要条件

函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。微积分是由微分学和积分学两部分组成，微分学是基础。微分学的基本概念是导数和微分，核心概念是导数。导数反应了函数相对于自变量的变化率问题。

Answer 2

连续未必可导

这点直接举反例，如f（x）=|x|，这个函数在R上连续，但是在x=0点处不可导。所以连续未必可导。

可导必然连续，证明如下：

设f（x）在x=x0处可导。即以下极限存在

Answer 3

解题过程如下：

设y=f(x)在x0处可导，f'(x0)=A

f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）

当x→x0时

f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）

当x→x0时

f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得，limf(x)=f(x0)。

微积分是在17世纪末由英国物理学家、数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨建立起来的。微积分是由微分学和积分学两部分组成，微分学是基础。微分学的基本概念是导数和微分，核心概念是导数。导数反应了函数相对于自变量的变化率问题。