Question

如图，三角形abc中，角acb=90度，cd垂直于ab，求证1/ac^2＋1/bc^2=1/cd^2

RT

Answer 1

AC方=AD*AB，BC方=BD*AB，CD方=AD*BD（射影定理，可用相似证明）
1/AC方+1/BC方=（AD+BD）/（AD*BD*AB）=AB/（CD方*AB）=/CD方

Answer 2

根据直角三角形 ,AC^2+CB^2=AB^2
又根据三角形面积公式，有2S=AC*CB=AB*CD
给AC^2+CB^2=AB^2两边同时除以(AC*CB)^2
得 1/CB^2+1/AC^2=AB^2/[(AC*CB)^2]=AB^2/[(AB*CD)^2]=1/CD^2
得证

Answer 3

证明：三角形的面积=0.5ac*bc=0.5ab*cd
ac*bc=ab*cd
1/cd=ab/(ac*bc)
1/cd^2=ab^2/(ac*bc)^2
ab^2=ac^2+bc^2代入得1/cd^2=（ac^2+bc^2）/(ac*bc)^2
1/ac^2＋1/bc^2=1/cd^2