Question

概率论 证明题

设μ为n次独立试验中事件A出现的次数，在第i次试验中事件A出现的概率为pi，求Dμ 并证明：在1/n∑pi=p(常数)的条件下，当且仅当p1=p2=…=pn=p时，Dμ达到最大。
请看清题目再回答，谢谢！

Answer 1

记Xi为第i次试验A是否出现，A出现则Xi=1，不出现则Xi=0，那么μ=∑Xi，而且Xi之间是独立的，所以Dμ=∑DXi，DXi=pi(1-pi),所以Dμ=∑pi(1-pi)。至于最大值的证明，只要利用不等式3∑Xi^2≥(∑Xi)^2即可。

Answer 2

解：所求概率为q^n+C(n,2)p2q^(n-2)+…
即二项式(q+px)^n中x偶数次系数之和。
1=(q+p)^n=C(n,0)q^n+C(n,1)pq^(n-1)+C(n,2)p2q^(n-2)+…+p^n
(q-p)^n=C(n,0)q^n-C(n,1)pq^(n-1)++C(n,2)p2q^(n-2)+…+
(-1)^np^n
故q^n+C(n,2)p2q^(n-2)+…
=[(q+p)^n+(q-p)^n]/2
=[1+(1-2p)^n]/2