Question

一道高一数学题，，，急呀！！！

已知f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+......+anx^n,a1,a2,a3.....an组成等差数列，（n为正偶数）
问：当f(1)=n^2时，试证明f(1／2)＜3;
能把过程写详细点么？？谢谢！我会加分的！谢谢！

Answer 1

因a1，a2，...，an组成等差数列，所以设公差为d，
又因f(1)=n^2，则
a1+a2+...+an=n^2，则由等差数列求和公式Sn=[2na1+n(n-1)d]/2可得
[2na1+n(n-1)d]/2=n^2，化简得
a1+d(n-1)/2=n，即a1=n(1-d/2)+d/2，
因为a1是等差数列的首项，所以和n无关，故1-d/2=0，即d=2
所以a1=1，得an=a1+(n-1)d，带入an=1+(n-1)*2，
得{an}的通项公式为 an=2n-1；

f(1/2)=S=1*(1/2)+3*(1/2)^2+……+(2n-1)*(1/2)^n
2S=1+3*(1/2)+……+(2n-1)*(1/2)^(n-1)
所以f(1/2)=S=2S-S=1+2*(1/2)+2*(1/2)^2+……+2*(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^n
=1+2*(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)*(1/2)^n
=3-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^n<3

Answer 2

f(1)=n^2,
a1+a2+...+an=n^2。
n/2(a1+an)=n^2 a1+an=2n
f(1/2)=a1*1/2+a2*1/4+a3*1/16+...+an*(1/2)^n
f(1/2)/(1/2)=a1 +a2*1/2+a3*1/4...+an*(1/2)^(n+1)
相减 :f(1/2)= a1 +（a2-a1)*1/2+(a3-a2)*1/4+...+(an-an-1)*(1/2)^(n+1)-an*(1/2)^n
f(1/2)=a1+d(1/2+1/4+1/16+...+(1/2)^(n+1))-an*(1/2)^n
=a1+d*(1/2)(1-(1/2)^n)-an*(1/2)^n

Answer 3

f(1)=n^2,说明a1+a2+...+an=n^2。也就是n/2(a1+an)=n^2 a1+an=2n
f(1/2)=a1*1/2+a2*1/4+a3*1/16+...+an*(1/2)^n 两边都除以1/2
f(1/2)/(1/2)=a1 +a2*1/2+a3*1/4...+an*(1/2)^(n+1)
相减 可得 f(1/2)= a1 +（a2-a1)*1/2+(a3-a2)*1/4+...+(an-an-1)*(1/2)^(n+1)-an*(1/2)^n
即 f(1/2)=a1+d(1/2+1/4+1/16+...+(1/2)^(n+1))-an*(1/2)^n
=a1+d*(1/2)(1-(1/2)^n)-an*(1/2)^n

后面的可以用归纳法来做

Answer 4

f(1)=n^2,那么an=2n-1,f(1／2)=1*(1/2)+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+.....+(2n-1)(1/2)^n,将这个式子乘以1/2 ，1/2f(1／2)=1*(1/2)^2……+3*(1/2)^3+5*(1/2)^4+.....+(2n-1)(1/2)^(n+1) 前一个减去后一个 1/2f(1／2)=1/2+2*{（1/2)^2+(1/2)^3+（1/2)^4+....+(1/2)^n}-(2n-1)(1/2)^(n+1)=3/2-(1/2)^(n-1)-(2n-1)(1/2)^(n+1)＜2/3 ,两边乘以2，f(1／2)＜3;

Answer 5

f(1)=n^2,那么an=2n-1,f(1／2)=1*(1/2)+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+.....+(2n-1)(1/2)^n,将这个式子乘以1/2 ，1/2f(1／2)=1*(1/2)^2……+3*(1/2)^3+5*(1/2)^4+.....+(2n-1)(1/2)^(n+1) 前一个减去后一个 1/2f(1／2)=1/2+2*{（1/2)^2+(1/2)^3+（1/2)^4

Answer 6

设a1=x,公差为t
a3+a5+a7+a9+a11=100
5x+30t=100
x+6t=20
3a9-a13=3x+24t-x-12t=2x+12t=40