Question

已知a>0,b>0,abc=1.试证明1/a³(b+c)+1/b³(a+c)+1/c³(a+b)≥3/2

已知a>0,b>0,abc=1.试证明1/a³(b+c)+1/b³(a+c)+1/c³(a+b)≥3/2

Answer 1

由a>0,b>0,abc=1知c=1/(ab)＞0,所以
1/[a³(b+c)]+1/[b³(a+c)]+1/[c³(a+b)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[a³b³c³(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a²+ac+ab+bc)+a³c³(b²+ac+ab+bc)+a³b³(c²+ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[a²b³c³+a³b²c³+a³b³c²+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[bc+ac+ab+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³c³+a³c³+a³b³+1)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³+a³)c³+(a³b³+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)(a²-ab+b²)c³+(ab+1)(a²b²-ab+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
≥[(b+a)abc³+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)c²+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]

稍后。

Answer 2

fg

Answer 3

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