Question

我这错误的解法哪里出错了，感觉是正确的啊

Answer 1

加减法的时候不要轻易用等价无穷小
要用的话也必须将整个分子或者分母来进行等价替换。
就拿你题目中分子部分
sin3x+xf(x)
我们假设f(x)=1
sin3x+x*1
那么提出一个x
变为
sin3x/x+1
此时x→0
按照你的做法
=3+1=4
而实际上
sin3x+x=0
因为两者都趋于0的
你可以继续假设f(x)=1/x
sin3x+x*1/x
提出一个x
sin3x/x+1/x=0+∞=∞
但实际上sin3x+1=0+1=1
所以加减法慎重使用等价无穷小

追问

我还是有一点不理解

我这样拆开来算不算没有加了

上下都是积的形式

追答

算加号，极限+极限

追问

也就是说这样也不能用等价无穷小？

追答

不能啊，一样的道理，我假设lim sin3x+xf(x)
=lim sin3x+lim xf(x)
跟我前面说的情况一样啊

追问

可以再帮我解答两道题嘛

追答

我尽力而为

追问

我想问这道题答案是怎么变到倒数第二步的

追答

它漏写了

分母漏乘一个*(√1+sin²x+1)

追问

指点一下

追答

分子漏乘一个(√1+tanx+√(1+sinx))

追问

我推不出来

追答

上下通分即可

我们先不看他答案，我从第一步开始做

我分子分母同乘(√1+tanx+√(1+sinx))

你理解这一步吗？

追问

理解了啊

这个通分怎么说

上下有理化，然后怎么办

追答

这时候分子=(√1+tanx+√(1+sinx))(√1+tanx-√(1+sinx))=1+tanx-1-sinx=tanx-sinx

分母=x(√1+sin²x-1)*(√1+tanx+√(1+sinx))

追问

嗯嗯

然后呢

到这一步怎么往下化简

追答

然后分子分母再同乘√(1+sin²x)-1

分子变成(tanx-sinx)(√1+sin²x+1)

上面说错了，是+1不是-1

分母变成x(√1+sin²x-1)(√1+sin²x+1)(√1+tanx+√1+sinx)=xsin²x(√1+tanx+√1+sinx)

这时候就是倒数第三步了

然后把x=0代入不为0的项，分子=(tanx-sinx)(1+1)
分母=xsin²x(1+1)

抵消就剩下倒数第二步

然后再用等价无穷小

漏了一步
tanx -sinx 
=tanx-tanx·cosx
=tanx(1-cosx)

追问

在嘛

追答

有啥问题

追问

我想知道这一步有什么用

追答

因为f(x)要分别求左极限和右极限，如果g(x)的左极限和右极限不相等，就有可能导致f(x)的极限也不同

追问

就最后这张图片的步骤有什么用😂

追答

题目中给出了g(x)=1是在x→0的情况下，就说明了左极限和右极限都是g(x)=1

追问

我不太清楚，我想知道它不要证x＝0处是否可导嘛

追答

因为f(x)=1+xg(x)

追问

这样啊

追答

f(x)的左极限和右极限是受到g(x)影响的

题目里写的啊

追问

那不要证明0处嘛

追答

证明谁的0处

追问

fx

追答

它不是在证明吗？

f'(x-)，f'(x+)

追问

这个包含了0啊？

追答

f'(x)就是对于整个定义域的啊

追问

为什么它证明了可导还要证连续

是不是多此一举啊

追答

我刚才没仔细看，你问的那一步，它确实是在证f'(x)在0点可导

我也感觉证明它连续好像有点多余。。。应该先证明连续再证明可导

追问

大神，你在吗😂

我又来了

我想问，为什么这个x趋于-∞，上下除x前面要加负号，x除进根号里不是x²嘛

追答

这么说吧，x²=1，x可以±1，但是x=-1≠√1，举个例子，
如果式子为√2+x，x=-2
√2+(-2)=-2(-√2/2+1)=-2(-√(1/2)+1)，或者这么说√2-2=2(√2/2-1)=2(√(1/2)-1)=-2(-√1/2+1)

算术平方根是正数，也就是√4=2，≠-2

所以需要化成正数，再除进根号里

√2/2=√(1/2)
√2/-2需要提一个负号出来=-√2/2=-√(1/2)，按你的理解就变成√2/-2也等于=√(1/2)了

Answer 2

等价无穷小只有乘除时才能用，由于分子里还有
“+f(x)"所以不能用。