Question

求证明过程

Answer 1

直接用分部积分法计算即可证明。

下面我用一个巧妙的方法来做，
希望能给你新的启示。

令P=∫[0~+∞]e^(-ax)·cosbx·dx
Q=∫[0~+∞]e^(-ax)·sinbx·dx
则：
bP=∫[0~+∞]e^(-ax)·d(sinbx)
=e^(-ax)·sinbx |[0~+∞]
-∫[0~+∞]sinbx·[e^(-ax)]'dx
=a∫[0~+∞]e^(-ax)·sinbx·dx

即：bP=aQ ①

bQ=∫[0~+∞]e^(-ax)·d(-cosbx)
=-e^(-ax)·cosbx |[0~+∞]
+∫[0~+∞]cosbx·[e^(-ax)]'dx
=1-a∫[0~+∞]e^(-ax)·cosbx·dx

即：bQ=1-aP ②

由①，②即可得到：
P=a/(a²+b²)
Q=b/(a²+b²)