Question

填空题第十五题，高中数学

Answer 1

解：A(0,0,0)，C₁(2,2,2)，D₁(0,2,2)，P(x,y,z)，
PC₁⃗(2-x,2-y,2-z)，PD₁⃗(-x,2-y,2-z)，
PC₁⃗·PD₁⃗=-x(2-x)+(2-y)²+(2-z)²=x²-2x+y²-4y+4+z²-4z+4=12-2x-4y-4z
∵x²+y²+z²=4，x+2y+2z取极值时必有y=z，∴求其极值等价于x²+2y²=4，x+4y的极值b，
解得y=4/3，x=2/3，b=6，
PC₁⃗·PD₁⃗≥12-12=0，
当P(2/3,4/3,4/3)时，PC₁⃗·PD₁⃗为最小值0，∴PC₁⃗⊥PD₁⃗， <PC₁⃗，PD₁⃗>=90°