Question

函数的一致连续性问题

函数的一致连续性问题为什么f（x）=1/x在（0,1）上是不一致连续函数，在［0,1］上上一致连续函数？

Answer 1

题目有问题，因为f(x)=1/x在x=0处无定义，所以应该是在[m,1]上一致连续
先证f(x)=1/x在[m,1]上一致连续
对任意ε>0，存在d=m^2*ε，使对所有x,y∈[m,1]，且满足|x-y|<d，有
|f(x)-f(y)|=|1/x-1/y|
=|x-y|/|xy|
<d/m^2
=ε
所以f(x)在[m,1]上一致连续
再证f(x)=1/x在(0,1)上非一致连续
对任意ε>0，存在d=x^2*ε，使对所有0<x<=y<1，且满足|x-y|<d，有
|f(x)-f(y)|=|1/x-1/y|
=|x-y|/|xy|
<d/x^2
=ε
因为d的取值与x有关，所以f(x)在(0,1)上非一致连续