Question

通项为n的平方的数列求和推导过程是怎样的

Answer 1

如果使用算术方法可以推导出来：
我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1
(1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ...此处引用：1 + 2 + 3 + .+ n = n(n + 1)/2
整理化简即可得到：
Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+ n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
用归纳法.
1）当n=1时,1^2=1*2*3/6=1,等式成立.
2）假设n=k时,1^2+2^2+3^2.+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立.
那么：
1^2+2^2+3^2.+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)/6*[k(2k+1)+6(k+1)]
=(k+1)/6*(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
等式也成立.
3）因为n=1等式成立,所以
1^2+2^2+3^2.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
恒成立