心形线围成的图形面积如何求？
心形线围成的图形面积，计算方法如下：
心形线极坐标方程为ρ=a(1-sinθ)，
那么所围成的面积为：
S=2x(1/2)∫(-π/2->π/2) ρ²(θ)dθ=∫(-π/2->π/2) a²(1-sinθ)²dθ=3πa²/2
心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。
其极坐标方程为：
水平方向： r=a(1-cosθ) 或 r=a(1+cosθ) (a>0)
垂直方向： r=a(1-sinθ) 或 r=a(1+sinθ) (a>0)
扩展资料：
心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）
参数方程
-pi<=t<=pi 或 0<=t<=2*pi
x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))
y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))
所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a
所围面积的求法：以ρ=a(1+cosθ)为例
令面积元为dA，则
dA=1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ
运用积分法上半轴的面积得
A=∫(π→0)1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ
=3/4*a∧2*π
所以整个心形线所围成的面积S=2A=3/2*a∧2*π
另类
1、极坐标系下绘制 r = Arccos(sinθ)，我们也会得的一个漂亮的心形线。
2、更为复杂的心形线：
3、数学爱好者创作的平面直角坐标系下的心形线，由两个函数表达式构成，但在利用几何画板作图时请务必将角度单位从默认的度改为弧度。
参考资料：百度百科---心形线
东莞大凡
2024-11-14 广告
心形线是一种由两条反比例函数的图形，可以用来表示各种爱的形态。心形线围成的图形面积的求法与求任何其他图形的面积类似。
首先，您需要求出心形线的函数表达式。由于心形线是由两条反比例函数组成的，所以函数表达式通常是这样的：
y = a / x
y = a / (x - b)
其中，a 和 b 是常数。
然后，用积分的方法求出心形线围成的图形的面积。这需要对心形线的函数表达式进行积分，得到图形的面积。如果您不熟悉积分的求法，可以参考一些数学书籍或在网上搜索相关资料。
具体的求法如下：
假设心形线的函数表达式是 y = a / x。根据积分的定义，可以得到：
S = ∫y dx = ∫a / x dx
= a ∫1 / x dx
= a ln x
由于心形线是一个对称图形，所以求出一半的面积后，再将其乘以 2 即可得到整个心形线围成的图形的面积。
如果心形线的函数表达式是 y = a / (x - b)，则可以得到：
S = ∫y dx = ∫a / (x - b) dx
= a ∫1 / (x - b) dx
= a ln (x - b)
同样由于心形线是一个对称图形，所以只需要求出一半的面积，再将其乘以 2 即可得到整个心形线围成的图形的面积。
注意：
由于 ln x 的定义域是正数，所以在求 ln x 的值时需要保证 x > 0。
在求 ln (x - b) 的值时，也需要保证 x > b。
如果您不熟悉积分的求法，可以参考一些数学书籍或在网上搜索相关资料。
围成的图形面积 S = 2∫<0, π>(1/2)r^2dθ = a^2∫<0, π>(1-cosθ)^2dθ
= a^2∫<0, π>[1-2cosθ+(cosθ)^2]dθ
= a^2∫<0, π>[3/2-2cosθ+(1/2)cos2θ]dθ
= a^2[(3/2)θ - 2sinθ +(1/4)sin2θ]<0, π> = (3/2)πa^2
