Question

如图在RT△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC

如图在RT△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E。
1）写出图中所有与△ABD相似的三角形
2）设AC/AB=t，是否存在这样的t值，使得△ADF相似于△EDB？请说明理由

Answer 1

1）
∵∠ABD=∠C ∴△ABD∽△ACB
∵∠ABC是△ACB与△BEF的公共角，又∠BEF、∠BAC均为直角，∴△EFB∽△ACB同理 △ADF∽△EFB，△EDC∽△ACB，
∴△ABD∽△ACB∽△EFB∽△ADF∽△EDC
2）
当∠B=2∠C=60°时可以，此时AC/AB=sinB/sinC=(√3/2)/(1/2)=√3,∴t=√3

Answer 2

1）
RT△ABC，RT△ADF，RT△DEC，RT△BEF
2）当AD=DE时，∠ABD=∠DBE
Rt△ADF相似于△EDB
此时，AB:AC=1/t=DE:BE=AD:AB=DE:EC
BE=EC,E是BC中点,AB=BE=EC
AC/t=AB，DE=AB/t,AB^2+4AB^2=AC^2
5AB^2=t^2*AB^2
t=根号5

Answer 3

解：（1）根据相似三角形的判定得，与△ABD相似的三角形有：△ACB，△ECD，△AFD，△EFB．

（2）存在t值，使△ADF∽△EDB．理由如下：
∵∠F=180°-∠FAD-∠FDA=90°-∠FDA，∠C=180°-∠CED-∠CDE=90°-∠CDE，∠FDA=∠CDE．
∴∠F=∠C．
∵∠ABD=∠C，
∴∠F=∠ABD．
在△ABD与△AFD中，∠F=∠ABD，∠FAD=∠BAD=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD．
∵△ADF∽△EDB，
∴△ADB∽△EDB，而相似比=DBDB=1．
∴△ADB≌△EDB．
∴∠ABD=∠EBD．
∴∠F=∠ABD=∠EBD．
∵∠F+∠ABD+∠EBD=90°，
∴∠F=30°．
∴∠C=30°．
∴∠ABC=60°．
∴AC/AB=tan∠ABC=3．
∴t=3．

Answer 4

解：∵∠BAC=∠BEC=90°，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACF，
又∵AB=AC，∠BAD=∠FAC=90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=FC，∠ABD=∠FCA，
故①②正确；
又∵BE为△BCF的角平分线，BE⊥CF，
∴△EBF≌△EBC
∴EF=EC，故④正确．
正确个数为3，故选B．