Question

如何看待数学解题的方法多样性

Answer 1

“解题方法多样化”在数学教学中有着重要的指导作用，新版的《数学课程标准》中提倡全新的教学理念，其中“问题解决策略多样化”就是对学生解决问题方式的诠释，提倡多策略解决问题旨在让学生开拓数学思维、优化思想、创新研究，让教师实施解题方法多样化教学，老师不要“死教学”，学生不能“读死书”，将重视结果教学转变成重视过程教学。“解题方法多样化”将重新构建师生关系，老师评价学生的准绳变得更加宽泛，学生分析问题、解决问题的形式多样化，使得教学过程中的理念在提升，真正让数学课堂变得高效，很准确地落实课堂教学。
下面我就从数与代数、图形与几何两方面对“解题方法多样化”作浅显的探索。
一、 数与代数方面落实“解题方法多样化”
我经常问自己：数学源自于哪里？为什么要学数学？听过很多名家的讲座，看过很多名师上课，我觉得别把数学看得深不可测，尤其是小学数学，就是来自于生活的，并且为了解决生活中的问题我们才去学习数学。所以，小学生们也是有各自不同的知识经验和生活积累的。正是有了这样那样的经验，学生们在解决问题的过程中都会有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的策略。因此，教师在教学中就要给学生提供自主探索的机会，引导学生去动手实践、自主探索，鼓励学生从不同的角度、不同的途径去观察、猜测、验证、从而解决问题，达到数学课堂的高效。
【教学实例1】教学《一个数乘一位数的口算乘法》时以6捆小棒引出课题，问学生：如何计算小棒的总数是多少？在一阵独立思考之后，组内进行交流，最后学生给出了这样一些方法：
① 数一数：
生1：我是一根一根地数，共60根。
生2：你那样数太慢了，我是十根十根数的，10根，20根，30根……一共60根。
生3：我是二十根二十根数的，20根，40根，60根，一共60根。
②加一加：10+10+10+10+10+10=60（根）
③乘一乘：
生1：10×6=60（根）
生2：20×3=60（根）师问：这个20表示什么意思？3又代表什么呢？
生3：30×2=60（根）师问：你来说说算式中的30和2分别表示什么意思？
老师在黑板上把学生的各种想法一一呈现，让更多的学生看到不同的方法解决这道题，开拓了学生的数学思维。在这三种方法的牵引下，学生会思考了，可以从加法、乘法两方面去解决这样的数学问题，当然老师会问：这三种方法你认为哪种方法最简便？这也是一个方法最优化的体现。
接下来，老师可以再出示一道问题：在6捆小棒的外面再加上6根小棒，问问现在有几根？让学生思考。仍然是运用多种方法解决。其实这个问题就是在刚才三种方法的基础上再加上6根小棒就可以了，又巩固了一遍本课的重点内容，使得学生学习知识扎实，达到高效课堂。
【教学实例2】教学《列方程解应用题》 时有这样一道题：红星小学组织学生给希望小学捐书，六年一班学生捐书78本，比一年一班的2倍还多12本，一年一班捐书多少本？老师要求学生用不同的方法解答本例题 。学生在本上计算，老师巡视，指导学习有困难的学生。学生汇报自己的想法，老师适时板书：
法一：算数法 （78－12）÷2
法二：用方程计算 解：设一年一班捐书x本，列方程如下：
2x＋12＝78
教师引导学生对这两种方法进行比较，让学生说说两种方法的相同点和不同点分析，在用方程解决问题的时候应注意什么？给学生充分地表达自己想法的时间。　　
上述两个教学实例，就是教学中最常见的例子。老师每抛出一个数学问题，都是又学生自主探究，形成了多种解题方式的呈现。如果给这两个案例细分的话，前者是算法多样化、后者则是一题多解。算法多样化所采用的教学策略主要是使学生能进行自主、合作、探究性的学习，而一题多解的教学策略主要是鼓励学生多角度思考。
　　无论是算法多样化还是一题多解，都是在学生灵活思维的牵引下，对于一个问题的多种解决方法，至于课堂上如果学生还有更多的解题思路，老师要鼓励学生表达，给学生展示的机会。正是由于每节课上孩子的生成性问题的不断涌现，才会使我们的课堂活动充满生机。学生思维活跃了，老师的情绪也会被带动，教者情绪高涨，学者自会信其理。
二、 图形与几何方面落实“解题方法多样化”
北师大版教材在图形与几何部分的编排特点就是从学生实际生活出发，用贴近学生生活的图片和实例走进学生心理，浅显的文字表述以及鲜亮的图片颜色都是促使学生快速找寻数学信息的因素。
其实数学学习的最终目的就是让学生运用所学的知识去解决生活中的问题，让学生在面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度、根据已有的知识经验寻求解决问题的策略，提高学生解决问题的意识与能力。多年的数学教学经验使我明白，最有效的方法是让学生有机会亲身实践。教学中，教师应该结合教学内容，设计现实的、富有挑战性的问题，让学生寻求解决方案。
【教学实例3】教学完《长、正方体的体积》后，教师在之后的一节练习课上让学生带来长、正方体的物体或容器，以及小石块、土豆等不规则形状的物体，让学生动手试一试，能测量并计算出哪些物体的体积或容积。在此基础上还可以向学生提出一个富有挑战性的问题，你能利用正方体的容器、水和直尺，想办法测量小石块的体积吗？学生在组内进行了激烈的谈论与探索，老师深入到学生的讨论中，指导启发学生运用更快更好更多的办法解决这类题。学生代表在汇报的时候有许多精彩的表现：
生1：我们组讨论的方法是这样的：把正方体容器装满水，量出水的高度。
师：为什么要量出水的高度？
生1：此时水的高度实际上就是正方形的棱长，只有知道水的高度才会计算出小石块的体积。然后把小石块放进这个容器中，水就会马上溢出来，这溢出来的水的体积就是小石块的体积。
师：大家觉得这个方法怎么样？有什么要说的吗？
其他学生表达自己的想法。
生2：这个溢出来的水的体积到底是多少呢？怎么计算了？我认为还要把溢出来的水放进跟这个正方体一样的容器中，再量出这个水的高度，计算出水的体积，这个水的体积就是小石块的体积了。
师：对了！你说的非常精彩！这个方法的计算过程就是你们两个人的说法捏到一起去，就是解决问题的方法了。大家这么喜欢动脑筋解决生活中的问题，在你们充满智慧的表达中老师简俨然看到了一个个小科学家的诞生！ 那么其他小组还有背别的方法吗？
生3：我们组是这样做的：把正方体容器装一点水，不用装满，然后量出水的高度。再把小石块放进去，这时水面就上升了，然后再量出水的高度，这时上升的水的体积就是小石块的体积。最后用“正方体的底面积×上升了的水的高度”就可以计算出小石块的体积了。
师：大家给他鼓鼓掌吧！这第二种方法大家听懂了吗？谁来说说你对于这两种计算方法的看法？
在交流的过程中教师对每一种方法都表现出极大的兴趣，给予了充分的肯定。最后请学生自己谈谈对这些方法的感受：更喜欢哪一种方法，为什么喜欢这种方法？大部分学生已认识到第二种最简便，因为它的思路很清晰，操作起来也不是很复杂。教师再小结。
在解决图形与几何方面的习题时，经常会出现这个教学实例中的现象，学生要通过自己的研究，动手操作，实际演练，汇报交流，总结出解决问题的方法。这样的呈现方式气氛热烈活跃，学生踊跃参与，大部分学生积极地争取机会发言，通过交流来发现各种不同算法之间的区别和本质联系。
以上三个教学实例中，老师都注重方法的多样性指导，而非总结出哪种方法好，哪种方法不好，这也是很多老师疑惑的地方，就是说：到底用不用告诉学生哪种方法刚好？其实我认为：只要学生能掌握顺手的方法就可以了，不用非得说必须用哪种方法解决。
教师在课堂上让学生通过自主探究，合作交流，研究出“不规则物体体积”的基本方法。这样的算法使学生理解、掌握，知其然而知其所以然。因此对于此类的特殊题型，教师要合理把握教学中生成的问题，切忌急于给学生一种正确的方法，而是在学生不断的练习，交流，体验中引发思维震动，真正理解和掌握最适合自己的方法。
教学中对于“解决方法多样化”是有很多研究价值的，课堂的时效性也不是空穴来风，教师要抓住课堂的生成性问题，灵活应对各种意料之外的问题。当学生的回答贴合课堂的节奏，老师就要及时引导，尊重学生的主体认知，学生的潜力很大，很喜欢用别人没用过的方法解决问题，这就是孩子们特有的对新鲜事物的探究欲望。老师在课堂上要给足学生探究的时间，让孩子们在小组内尽量多交流，迸发出思维的火花来，这样我们的数学课堂就活跃了，这样做也是符合《新课标》的理念：“尊重学生的个性特点，关注学生的思维发展”，真正做到“以学生为本”。但是千万不可以为了“方法多样化”而方法多样化，一味的追求多种方法，这样也是不对的。机械的罗列出一大堆方法，如果老师不适时总结和归纳，找寻它们的共同点，提升思维，创建高效课堂，那么再多的方法罗列也是徒劳，这样只会让我们的课堂内容看起来太满太多，却抓不住重点，反而起了“反作用”。所以，老师要把握好这个度，真正让“解决方法多样化”对教学有指导意义，而不是一件“浮夸的外衣”。

Answer 2

讲求多样还要注重拓展。 在解决问题多样化时，教学中教师要十分注重多样中有“多样”，即每种策略中还有多种策略。 例如：“鸡兔同笼问题”， 笼子里有若干只鸡、兔。从上面数，有10个头，从下面数，有36只脚，鸡和兔各有几只？学生猜想的方法有.

Answer 3

01.选择题的解法

1、直接法：
根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。

2、特殊值法：
（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关；
在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。

3、淘汰法：
把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。

4、逐步淘汰法：
如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；
每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。

5、数形结合法：
根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
02.常用的数学思想方法
1、数形结合思想：
就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；
使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：
事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：
当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：
就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：
在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

7、分析法：
在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然；则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。这种思维过程通常称为“执果寻因”

8、综合法：
在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果”

9、演绎法：
由一般到特殊的推理方法。

10、归纳法：
由一般到特殊的推理方法。

11、类比法：
众多客观事物中，存在着一些相互之间有相似属性的事物，在两个或两类事物之间；根据它们的某些属性相同或相似，推出它们在其他属性方面也可能相同或相似的推理方法。类比法既可能是特殊到特殊，也可能一般到一般的推理。

03.函数、方程、不等式
常用的数学思想方法：
⑴数形结合的思想方法。
⑵待定系数法。
⑶配方法。
⑷联系与转化的思想。
⑸图像的平移变换。
04.证明角的相等

1、对顶角相等。
2、角（或同角）的补角相等或余角相等。
3、两直线平行，同位角相等、内错角相等。
4、凡直角都相等。
5、角平分线分得的两个角相等。
6、同一个三角形中，等边对等角。
7、等腰三角形中，底边上的高（或中线）平分顶角。
8、平行四边形的对角相等。
9、菱形的每一条对角线平分一组对角。
10、 等腰梯形同一底上的两个角相等。
11、 关系定理：同圆或等圆中，若有两条弧（或弦、或弦心距）相等，则它们所 对的圆心角相等。
12、 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
13、 同弧或等弧所对的圆周角相等。
14、 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
15、 同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
16、 全等三角形的对应角相等。
17、 相似三角形的对应角相等。
18、 利用等量代换。
19、 利用代数或三角计算出角的度数相等
20、 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
05.证明直线的平行或垂直

1、证明两条直线平行的主要依据和方法：
⑴定义、在同一平面内不相交的两条直线平行。
⑵平行定理、两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
⑶平行线的判定：同位角相等（内错角或同旁内角），两直线平行。
⑷平行四边形的对边平行。
⑸梯形的两底平行。
⑹三角形（或梯形）的中位线平行与第三边（或两底）
⑺一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
2、证明两条直线垂直的主要依据和方法：
⑴两条直线相交所成的四个角中，由一个是直角时，这两条直线互相垂直。
⑵直角三角形的两直角边互相垂直。
⑶三角形的两个锐角互余，则第三个内角为直角。
⑷三角形一边的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形。
⑸三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
⑹三角形（或多边形）一边上的高垂直于这边。
⑺等腰三角形的顶角平分线（或底边上的中线）垂直于底边。
⑻矩形的两临边互相垂直。
⑼菱形的对角线互相垂直。
⑽平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，或平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。
⑾半圆或直径所对的圆周角是直角。
⑿圆的切线垂直于过切点的半径。
⒀相交两圆的连心线垂直于两圆的公共弦。