Question

定积分证明题

定积分证明题第76题，图中划横线部分为什么得0？





Answer 1

横线部分不等于零，把第一项和最后一项结合完成证明。

追问

晕，看丢了

Answer 2

证明：设x=π-t，则dx=-dt， ∫(0,π)xf(sinx)dx=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt=π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt， ∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx。又，∫(0,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sinx)dx+∫(π/2,π)f(sinx)dx，对后一个积分再设x=π-t，有∫(π/2,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sint)dt，∴∫(0,π)f(sinx)dx=2∫(0,π/2)f(sinx)dx。 ∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)2∫(0,π/2)f(sinx)dx=π∫(0,π/2)f(sinx)dx。故，等式成立。供参考。