Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A,B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接DE、BF，（1）求证：DE=BF，DE⊥BF （2）连接BE，当CE与半圆O相切时，求∠EBF的度数（3）求线段OF长的最小值

Answer 1

1，如图：

2，如图：

3, 如图 ：

Answer 2

第一问，比较简单，由∠ECB=∠ECF=90°，CE=CF，可以推得△DCE≌△CBF
第二问，如果CE与圆相切，可得OE⊥CE，△OEC≌△OBC，2OB=BC，可以解出这个三角形，

Answer 3

（1）合同法。将ΔECD绕C逆时针旋转90°，CD与CB重合，CE与CF重合，所以，DE与BF重合，DE=BF

追答

BF可以看成DE旋转90°得到的，因此它们互相垂直。

（2)连接OE，CB也是切线，根据切线长定理，CE=CB，∠OCB=∠OCE=arctan（1/2）

OBCE四点共圆
∠OBE=∠OCE
∠CDE=∠CED=∠CBD=90°-∠DCE/2
=90°-（90°-2arctan（1/2））/2
=45°十 arctan（1/2）

∠EBF=∠EBC十∠CBF
=90°- arctan（1/2）十45°十 arctan（1/2）
=135°

过E作AD.CD的距离线，设E到AD距离x，E到CD距离y
∠BOE=θ
正方形边长2
x=1十cosθ
y=2-sinθ
过F作F到BC，AB的距离线，长分别为y，x
勾股定理
OF=√[（1十y）²十x²]
= √[（1十2-sinθ)²十（1十cosθ）²]
=√（9-6sinθ十sin²θ十1十2cosθ十cos²θ）
=√（11十2（cosθ-3sinθ））
=√[11十2√10sin（α-θ）]
≥√10-1

其中sinα=1/√10

几何法，把BDF及OF顺时针旋转回去，F与E重合。O到O'
在D正水分1
OF=O'E
OEO'共线时，O'E最短。
√（1²十3²）-1
=√10-1

正上方

Answer 4

闭门造车，造出的题目远远超出高中的范围，第三小题虽然解出结果，但是用了隐函数的微分，这属于大学的知识，不然那个最小值是很难求的，看看结果就知道，两重根号，所以这个数据猜是猜不出来的，只好测量近似值，

第一题图形，

第二题图形，

第三题图形，

由于几何画板崩溃两次，没有及时保存，第三小题做了三次，