Question

大一高数题，多元函数极值题

Answer 1

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）

Answer 2

设水箱长宽高分别为 a，b，c
那么，abc=V，即 abc-V=0
水箱表面积 S=2（ab+bc+ca）
要使材料最省，就是使 S 值最小。
这是条件极值问题，构造多元函数
F（a，b，c）=2（ab+bc+ca）-λ（abc-V）
求其对 a，b，c 的偏导数，并使之为零，得到
2（b+c）-λbc=0
2（a+c）-λac=0
2（b+a）-λba=0
得出，
1/b+1/c=1/a+1/c=1/a+1/b
所以，a=b=c
再结合，abc=V，可知 a=b=c=三次根号V
即，水箱的长宽高都为 “三次根号V”

Answer 3

设长方体水箱的长宽高分别为x,y和z，则V=xyz
长方体表面积S=2xy+2yz+2zx
令F(x,y,z)=2xy+2yz+2zx+r(xyz-V)
Fx'=2y+2z+ryz=0，Fy'=2x+2z+rzx=0，Fz'=2y+2x+rxy=0，Fr'=xyz-V=0
解方程组，得驻点(V^(1/3),V^(1/3),V^(1/3),-4V^(-1/3))
由此可知，当x=y=z=V^(1/3)时，长方体水箱为正方体时，所耗材料最少