Question

2018中考压轴题，求学霸给出解题过程！

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Answer 1

最小值为5√2
MN所在直线为y=-x+B
MN中点H(x₁,y₁)在直线y=x上，
OH²+HM²=25；OH·HM=3.5；可得
OH=3.5√2，HM=0.5√2
∴H点(3.5,3.5),直线y=-x+7
M、N两点坐标为(4,3)、(3,4)
N关于x轴的对称点N'为(3,-4)
MN'距离即MP+NP的最小值
根据两点坐标，距离S=√(7²+1²)=5√2

追问

M，N的坐标是如何求出来的？求详细过程，是不是我太笨，没看出来。

追答

M、N在直线y=-x+7上，同时在圆x²+y²=25上，联立可得。
还有一种方法，H点(3.5,3.5)，HM=0.5√2，则M点坐标（3.5+0.5,3.5-0.5），N同理（3.5-0.5,3.5+0.5）

追问

直线 y =-x+7方程是如何得出来的？

这是初中数学，没学园的方程啊

H点的坐标是如何确定的？……

追答

OH的长度可以看得懂吧？那么H点坐标应该也没问题吧？把H点代入方程y=-x+B，即得y =-x+7

然后M、N点参照下图

HM=0.5√2，则M点相对于H点，x轴坐标加0.5，y轴坐标减0.5。N同理可得。

这样更清楚一点。

追问

H点坐标真没看懂

H为啥在y＝x上？

追答

M、N在反比例函数上，同时在圆上，根据位置关系，可知M、N关于y=x对称，所以H在直线y=x上。同时，在三角形OHM中，OH²+HM²=OM²。三角形OMN面积S△=MN·OH/2=HM·OH=3.5，得到OH=3.5√2，HM=0.5√2。

追问

我是学渣，您辛苦了

追答

还有关于P点为什么在这。PN=PN' ,PN+PM=PN'+PM。而PN'+PM想要最短，则P在MN'的连线上。

追问

最短的我懂，H为啥在y＝x上？

也就是MM方程为啥不是y=kx+b

追答

反比例函数关于直线y=x对称，圆O关于直线y=x对称，二者交点必然直线y=x对称，所以MN的中点H必然在直线y=x上。
设直线为y=kx+b，最后可得k=-1
具体如下：
M、N关于y=x对称，则

M（a，c），N坐标必然是（c，a）代入可得k=-1

追问

好的，我是家长，等晚上孩子回来给他看看啊