Question

利用二重积分的性质估算下列积分的值

利用二重积分的性质估算下列积分的值第4问怎么做。

Answer 1

解题过程如下：

z=x^2+4y^2+9是一个椭圆抛物面，根据几何形状，在环形闭区域1<=x2+y2<=4上的最大值发生在x2+y2=4上，最小值发生在x2+y2=1上

令x=2cosθ,   y=2sinθ得：z=12(sinθ)^2+13  max(z)=12+13=25

令x=cosθ,   y=sinθ得：z=3(sinθ)^2+10  min(z)=3+10=13

∴13σ≤∫∫(x^2+4y^2+9)d〥≤25σ

13×3π≤∫∫(x^2+4y^2+9)d〥≤25×3π

39π≤∫∫(x^2+4y^2+9)d〥≤75π

意义：

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

Answer 2

被积函数f(x,y)=1/[(x+y)^2+16]^(1/2)，由于0≤x≤1，0≤y≤2，故0≤x+y≤3，代入被积函数中可知1/5≤f(x,y)≤1/4，故积分s/5≤i≤s/4，其中s为积分区域d的面积=2，所以2/5≤i≤1/2。

Answer 3

因为当（x,y）属于0时，有0<=x^2+y^2<=4
所以9<=x^2+4y^2+9<=4（x^2+y^2）+9<=25
所以
9d¢<=（x^2+4y^2+9）d¢<=25d¢
而d¢就是D区域圆的面积
所以36π<=（x^2+4y^2+9）d¢<=100π

Answer 4

9 ≤ x^2+4y^2+9 ≤ 4+9，
取平均值 11，因此原式 ≈ 11S = 44π 。

追问

???