Question

求解一道极限

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Answer 1

分子变形后做等价代换，ab都趋于零时，e^a-e^b=e^b(e^(a-b)-1)~a-b
=lim(lnxe^(xlnsinx)-lnsinxe^(sinxlnx))/x³

=lim(lnx(e^(xlnsinx)-e^(sinxlnx))+(lnx-lnsinx)e^(sinxlnx))/x³

在分别计算两项极限相加即可，不过三重幂，本题应该还是用泰勒级数展开计算更简洁。。

Answer 2

x^[(sinx)^x]
=x^[e^(x.lnsinx)]
lim(x->0+) x.lnsinx
= lim(x->0+) lnsinx / (1/x) (∞/∞)
=lim(x->0+) cotx / (-1/x^2)
= lim(x->0+) -x^2 /tanx
= 0
=>lim(x->0) x^[(sinx)^x] = x
//
(sinx)^[x^(sinx)]
= (sinx)^[e^(sinx.lnx) ]
lim(x->0+) sinx .lnx
=lim(x->0+) lnx / cscx (∞/∞)
=lim(x->0+) (1/x) / (-cscx.cotx)
=lim(x->0+) -sinx. (tanx/x)
=0
=> lim(x->0) (sinx)^[x^(sinx)] = sinx
//
lim(x->0) { x^[(sinx)^x] -(sinx)^[x^(sinx)] } /x^3
=lim(x->0) (x -sinx ) /x^3
=lim(x->0) (1/6)x^3 /x^3
=1/6