Question

拉普拉斯算子对矢量的计算的过程是什么样的

如图答案怎么得到的 谢谢

Answer 1

拉普拉斯算符作用于矢量上可以看做矢量梯度的散度。矢量的梯度是张量，如图，

矢量的梯度

张量的散度可看做张量和哈密顿算符的点乘

矢量的散度

哈密顿算符可看做矢量，故张量的散度的是矢量。

张量的散度

故可以得到

所以相当于对矢量A在每个方向上的分量求二阶偏微分得到最终结果在该方向上的分量，最终得到题目解答的答案。

以上只是我的个人理解，有错误可以纠正。

Answer 2

拉普拉斯算子作用于矢量有两种结果： 1、拉普拉斯算子作为矢量，与另外一个矢量点积的结果是标量； 2、作为矢量，与另外一个矢量的叉积结果是得到另外一个矢量或者得到张量。拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。