Question

反函数的积分 等于 原函数积分

请问原函数和反函数的面积一样吗？那这个问题中原函数和反函数的面积为什么是那样的呢？我觉得反函数的面积应该如我画的图一般吗？还有有办法能够快速画出反函数图像的办法吗，像对折一下但是三角函数挺难画的

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Answer 1

关于题主问为什么那两个面积不相等的原因，是因为变成反函数的时候，横坐标已经从符号x变成y了，所以应该都是与x轴包围的面积，和y轴没关系

也就是说

其实本质上，就是个符号的问题，y这个符号迷惑了题主

Answer 2

楼主，应该是这样，不懂追问哦

追问

你好，你说的我懂，但是题目中那个反函数的积分为什么等于一个总面积减去原函数的积分这块我不懂

追答

因为求那个要求的反函数的积分，物理意义就是反函数曲线与y轴围成的面积，但我们是不知道反函数的表达式，所以我们不能直接求取。那就是另求他法，我们的目的主要是求那个面积，所以求得面积就是积分值。而题目中给了原函数的表达式，恰好矩形总面积减去原函数曲线和x轴围成的面积就是所求面积。所以也就是反函数的积分值。

追问

额，我还是不明白为什么剩下的面积就是反函数的面积，我明白反函数是和y轴围起来的是面积，但是我不理解为什么反函数图像和原函数恰好一样的。
就像你给我画的那张图，如果从他们第二次相交开始算二者面积，不应该还有个公共部分吗，按理说除了y=x应该没有长一样的原函数和反函数了吧

追答

两者的曲线不一样，他们画在同一个坐标轴上，是关于直线y=x对称的

这是我请教老师，老师给的例子，你可以看看，感受一下

在画反函数曲线时，考虑横轴还是纵轴为自变量，若纵轴为自变量，则图像与原函数重合（原函数以横轴为自变量），若反函数也以横轴为自变量，则两曲线是关于y=x对称