Question

求解一题数学，第84题两问！

Answer 1

解：（1）∵正四面体ABCD的各棱长为a，

∴正四面体ABCD的表面积=4×=．

（2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，

∵正四面体ABCD的棱长为a，

∴正方体的棱长为a，

正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，

球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为2R，

∵正方体的棱长为a，所以×a=2R，

∴R=a．

正四面体ABCD外接球与内切球的两球球心重合，设为O． 

设DO的延长线与底面ABC的交点为E，则DE为正四面体的高，DE⊥底面ABC，

且DO=R，OE=r，OE=正四面体PABC内切球的半径．

设正四面体ABCD底面面积为S． 

将球心O与四面体的4个顶点全部连接，

可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．

每个正三棱锥体积V1=•S•r 而正四面体体积V2=•S•（R+r）

从而有，4•V1=V2，

所以，4••S•r=•S•（R+r），

所以，=．

∴正四面体内切球的半径r=a=．

∴内切球的体积V内=πr3=a3=．