Question

基本初等函数导数公式

基本初等函数导数公式

Answer 1

常函数的导数设f(x)=c，c为常数.则f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)_f(x)Δx=limΔx→0c_cΔx=0。
幂函数的导数，引理1limx→0(1+x)a_1x=a(a∈R)证明令(1+x)a_1=t，则当x→0时t→0limx→0(1+x)a_1x=limx→0[(1+x)a_1ln_(1+x)a_aln_(1+x)x]=limt→0tln_(1+t)_limx→0aln_(1+x)x=a。设f(x)=xa(a∈R)，D为f(x)的定义域且规定x∈D,x≠0f(x)=limΔx→0f(x+Δx_f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)a_xaΔx=limΔx→0xa_1_(1+Δxx)a_1Δxx。易知，Δxx→0，运用引理1的结果，可得f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)_f(x)Δx=axa_1。当a≠1时，由定义可计算得f′(0)=0，代入公式可知成立，故该公式对一切的x∈D都成立；特别地，当a=1时，则规定f′(x)≡1.正弦函数的导数，引理2limx→0sin_xx=1

Answer 2

1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

Answer 3

C'=0
(x^n)' = nx^(n-1)
(a^x)' = a^x * lna
(e^x)' = e^x
(loga(x))' = 1/(xlna)
(lnx)' = 1/x
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' = (secx)^2
(cotx)' = -(cscx)^2
(secx)' = secxtanx
(cscx)' = -cscxcotx

Answer 4

Answer 5