Question

求∫1-lnx/(x-lnx)^2 dx

Answer 1

∫［（1－lnx）/（x－lnx）^2］dx

＝∫｛［x－lnx－x（1－1/x）］/（x－lnx）^2｝dx

＝∫｛［x′（x－lnx）－x（x－lnx）′］/（x－lnx）^2｝dx

＝∫［x/（x－lnx）］′dx

＝x/（x－lnx）＋C。

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

方法一：
∫［（1－lnx）/（x－lnx）^2］dx
＝∫｛［x－lnx－x（1－1/x）］/（x－lnx）^2｝dx
＝∫｛［x′（x－lnx）－x（x－lnx）′］/（x－lnx）^2｝dx
＝∫［x/（x－lnx）］′dx
＝x/（x－lnx）＋C。
－－－－－
方法二：
∫［（1－lnx）/（x－lnx）^2］dx
＝∫｛［x（lnx）′－x′lnx］/x^2｝［x/（x－lnx）］^2dx
＝∫［x/（x－lnx）］^2d（lnx/x）
＝－∫［1/（1－lnx/x）^2］d（1－lnx/x）
＝1/（1－lnx/x）＋C
＝x/（x－lnx）＋C。

Answer 4

令t=lnx,再分部积分，