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就是这样
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令f(x)=∑(n=1→∞)n/(x+1)*x^n
xf(x)=∑(n=1→∞)n/(n+1)*x^(n+1)
(xf(x))'=∑(n=1→∞)nx^n=x/(1-x)²,易证R=1
令x/(1-x)²=A/(1-x)+B/(1-x)²
右边通分整理得x/(1-x)²=(-Ax+A+B)/(1-x)²
∴-A=1,A+B=0
A=-1,B=1,即x/(1-x)²=1/(x-1)+1/(1-x)²
两边积分,得xf(x)=ln(1-x)+1/(1-x)
∴x=0时f(x)=0
x≠0时,f(x)=ln(1-x)/x+1/x(1-x)
将x=±1代入原级数,通项均不为无穷小,∴发散
∴收敛域为(-1,1)
xf(x)=∑(n=1→∞)n/(n+1)*x^(n+1)
(xf(x))'=∑(n=1→∞)nx^n=x/(1-x)²,易证R=1
令x/(1-x)²=A/(1-x)+B/(1-x)²
右边通分整理得x/(1-x)²=(-Ax+A+B)/(1-x)²
∴-A=1,A+B=0
A=-1,B=1,即x/(1-x)²=1/(x-1)+1/(1-x)²
两边积分,得xf(x)=ln(1-x)+1/(1-x)
∴x=0时f(x)=0
x≠0时,f(x)=ln(1-x)/x+1/x(1-x)
将x=±1代入原级数,通项均不为无穷小,∴发散
∴收敛域为(-1,1)
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