求幂函数的和函数

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玉杵捣药
高粉答主

2018-07-09 · 醉心答题,欢迎关注
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因为这里书写不便,故将我的答案做成图像贴于下方,谨供楼主参考(若图像显示过小,点击图片可放大)

魊魆魋魀鬿
2018-07-09 · TA获得超过788个赞
知道小有建树答主
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就是这样

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sumeragi693
高粉答主

2018-07-09 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
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令f(x)=∑(n=1→∞)n/(x+1)*x^n

xf(x)=∑(n=1→∞)n/(n+1)*x^(n+1)
(xf(x))'=∑(n=1→∞)nx^n=x/(1-x)²,易证R=1

令x/(1-x)²=A/(1-x)+B/(1-x)²

右边通分整理得x/(1-x)²=(-Ax+A+B)/(1-x)²
∴-A=1,A+B=0
A=-1,B=1,即x/(1-x)²=1/(x-1)+1/(1-x)²
两边积分,得xf(x)=ln(1-x)+1/(1-x)
∴x=0时f(x)=0
x≠0时,f(x)=ln(1-x)/x+1/x(1-x)
将x=±1代入原级数,通项均不为无穷小,∴发散
∴收敛域为(-1,1)
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