Question

一道高中数学题（关于向量）

若o是三角形ABC内一点，OA+OB+OC=0，求证O为三角形ABC的重心。
（OA,OB,OC都是向量）

Answer 1

取AB中点为D，OA+OB=2 OD,(平行四边形对角线互相平分)又因为OA+OB+OC=0，所以OC=2 OD且共线，同理找BC中点为S，AC中点为W，OA=2 OS且共线，OB=2 OW且共线。D，S，W分别为AB,BC,AC中点，所以O为三角形重心。
谢谢~

Answer 2

取AB中点为D，OA+OB=2 OD,(平行四边形对角线互相平分)又因为OA+OB+OC=0，所以OC=2 OD且共线，同理找BC中点为S，AC中点为W，OA=2 OS且共线，OB=2 OW且共线。D，S，W分别为AB,BC,AC中点，所以O为三角形重心。

取BC中点D，连结并延长OD至E，使DE=OD
于是四边形BOCE是平行四边形
所以向量OB=向量CE
所以向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE
而由向量OA+向量OB+向量OC=0得
向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO
所以向量AO和向量OE共线
所以A、O、E三点共线
而D在OE上
所以A、O、D三点共线
而点D又是BC中点
所以AD(即AO)是三角形ABC中BC边中线
同理可证BO是AC边中线，CO是AB边中线
所以点O是三角形ABC的重心

Answer 3

取BC中点D，连结并延长OD至E，使DE=OD
于是四边形BOCE是平行四边形
所以向量OB=向量CE
所以向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE
而由向量OA+向量OB+向量OC=0得
向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO
所以向量AO和向量OE共线
所以A、O、E三点共线
而D在OE上
所以A、O、D三点共线
而点D又是BC中点
所以AD(即AO)是三角形ABC中BC边中线
同理可证BO是AC边中线，CO是AB边中线
所以点O是三角形ABC的重心

Answer 4

这个要用到解析几何的知识了
设A(X,Y)
A-B=(X-3,Y-4)
（X-3)^2+(Y-4)^2=1
上的点与O
的最大距离
选A